万丈高楼平地起;勿在浮沙筑高台。
暂时放下其他的东西的学习,还不能称之为学习。潜心研究pbrt,看到第二章绕任意轴的旋转一部分,但是只是给了一个大体的推导,最终的推导并没有给出,所以在此做一下简单的推导。
给定一个规范化的方向向量a作为旋转轴,然后使向量v绕着这个轴旋转θ度,如图1所示,首先我们计算一个平行于向量a的向量 ,此向量与向量a的起点相同,终点与向量v的终点(此时向量v与向量a起点相同)在以a为法线的平面上。假设向量v与a之间的夹角为 ,那么我们有
我们首先在这个平面上构造一组向量基 v1与 v2,其中 v1是v1=v - vc,
另外一个基向量可以通过两个向量的叉乘得到:v2 = (v1 x a),因为向量a是规范化的,所以v1与v2具有相同的长度,这个长度与v与vc之间的向量长度相同。在旋转平面(v1与v2所在的平面)来计算v绕向量vc旋转θ得到:
再继续下面推导之前先复习一下向量点乘与叉乘的基本规律:
向量点乘符合以下规律:
向量叉乘符合以下规律:
现在可以开始推导上面的公式了,推导过程如下:(手机效果太烂。。。将就着看吧)
最后附上源码:
1: Transform Rotate(float angle, const Vector &axis) {2: Vector a = Normalize(axis);
3: float s = sinf(Radians(angle));4: float c = cosf(Radians(angle));5: float m[4][4];6:
7: m[0][0] = a.x * a.x + (1.f - a.x * a.x) * c;
8: m[0][1] = a.x * a.y * (1.f - c) - a.z * s;
9: m[0][2] = a.x * a.z * (1.f - c) + a.y * s;
10: m[0][3] = 0;
11:
12: m[1][0] = a.x * a.y * (1.f - c) + a.z * s;
13: m[1][1] = a.y * a.y + (1.f - a.y * a.y) * c;
14: m[1][2] = a.y * a.z * (1.f - c) - a.x * s;
15: m[1][3] = 0;
16:
17: m[2][0] = a.x * a.z * (1.f - c) - a.y * s;
18: m[2][1] = a.y * a.z * (1.f - c) + a.x * s;
19: m[2][2] = a.z * a.z + (1.f - a.z * a.z) * c;
20: m[2][3] = 0;
21:
22: m[3][0] = 0;
23: m[3][1] = 0;
24: m[3][2] = 0;
25: m[3][3] = 1;
26:
27: Matrix4x4 mat(m);
28: return Transform(mat, Transpose(mat));29: }