万丈高楼平地起;勿在浮沙筑高台。

暂时放下其他的东西的学习,还不能称之为学习。潜心研究pbrt,看到第二章绕任意轴的旋转一部分,但是只是给了一个大体的推导,最终的推导并没有给出,所以在此做一下简单的推导。

给定一个规范化的方向向量a作为旋转轴,然后使向量v绕着这个轴旋转θ度,如图1所示,首先我们计算一个平行于向量a的向量 ,此向量与向量a的起点相同,终点与向量v的终点(此时向量v与向量a起点相同)在以a为法线的平面上。假设向量v与a之间的夹角为 ,那么我们有

image图1,绕任意轴旋转示意图

我们首先在这个平面上构造一组向量基 v1与 v2,其中 v1是v1=v - vc

另外一个基向量可以通过两个向量的叉乘得到:v2 = (v1 x a),因为向量a是规范化的,所以v1与v2具有相同的长度,这个长度与v与vc之间的向量长度相同。在旋转平面(v1与v2所在的平面)来计算v绕向量vc旋转θ得到:

F]Z{1G~~UG9OP)JA%ZK)L0X

再继续下面推导之前先复习一下向量点乘与叉乘的基本规律:

向量点乘符合以下规律:

]TM145XK7I`FRL`D[$8N3TC

向量叉乘符合以下规律:

`9P5MH}21~V$U]83E1WL1{T

现在可以开始推导上面的公式了,推导过程如下:(手机效果太烂。。。将就着看吧)

 

_L2@P]1C9`@8HBKU$UR958M

最后附上源码:

   1: Transform Rotate(float angle, const Vector &axis) {
   2:     Vector a = Normalize(axis);
   3:     float s = sinf(Radians(angle));
   4:     float c = cosf(Radians(angle));
   5:     float m[4][4];
   6:  
   7:     m[0][0] = a.x * a.x + (1.f - a.x * a.x) * c;
   8:     m[0][1] = a.x * a.y * (1.f - c) - a.z * s;
   9:     m[0][2] = a.x * a.z * (1.f - c) + a.y * s;
  10:     m[0][3] = 0;
  11:  
  12:     m[1][0] = a.x * a.y * (1.f - c) + a.z * s;
  13:     m[1][1] = a.y * a.y + (1.f - a.y * a.y) * c;
  14:     m[1][2] = a.y * a.z * (1.f - c) - a.x * s;
  15:     m[1][3] = 0;
  16:  
  17:     m[2][0] = a.x * a.z * (1.f - c) - a.y * s;
  18:     m[2][1] = a.y * a.z * (1.f - c) + a.x * s;
  19:     m[2][2] = a.z * a.z + (1.f - a.z * a.z) * c;
  20:     m[2][3] = 0;
  21:  
  22:     m[3][0] = 0;
  23:     m[3][1] = 0;
  24:     m[3][2] = 0;
  25:     m[3][3] = 1;
  26:  
  27:     Matrix4x4 mat(m);
  28:     return Transform(mat, Transpose(mat));
  29: }
posted on 2012-04-27 12:55  cg_ghost  阅读(8966)  评论(0编辑  收藏  举报