线性分割问题(The Linear Partion Problem)

• 问题描述

    给定数组 A[1, 2, ..., n] 和正整数 k， 要求将 A 分割为至多 k 段（即，将 A 至多切 k - 1刀），使得各段的元素之和的最大值最小。

    例如，设 A = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]，k = 3。若将 A 分割为1， 2， 3 |  4，5，6 | 7， 8， 9，则各段元素之和分别为 6， 15， 24，最大为24； 若将 A 分割为1， 2， 3 ， 4，5  |  6，  7  |  8， 9，则各段元素之和分别为 15， 13， 17，最大为17，因此第二种分割方式要好于第一种（事实上，这也是最优的分割方式）。

• 动态规划解

    把上述问题记为 Problem(A[1, ..., n], k)，把子问题 Problem(A[1, ..., m], j) 的最优值记为 opt[m, j], 则显然有边界条件

 　　　　

因为把A[1, ..., m] 分为一段只有一种分法。

    由于 A[1, ..., m] 最多只能被分为 m 段， 所以有：

    当 1 < j <= m 时， 有递推关系式

•  c++代码

#include<vector>
#include<list>
#include<iterator>
#include<iostream>
#include<utility>

/*
  输入:
    [beg, end) ------ 数组所在的区间
             k ------ 段数
  输出:
    一个列表，其元素是各个分段点的位置。
  */
template<class Iter>
std::list<int> linear_partion(const Iter &beg, const Iter &end, int k)
{
    typedef typename std::iterator_traits<Iter>::value_type value_type;
    typedef std::vector<std::vector<value_type> > Matrix;

    int n = end - beg;
    if(k > n)
        k = n;
    Matrix opt(n + 1, std::vector<value_type>(k + 1)); //存储最优值的DP表
    Matrix d(n + 1, std::vector<value_type>(k + 1)); //存储分段点位置的DP表

    //边界条件
    opt[1][1] = *beg;
    Iter it = beg + 1;
    for(int m = 2; m <= n; ++m, ++it)
        opt[m][1] = opt[m - 1][1] + *it;

    for(int j = 2; j <= k; ++j)
    {
        for(int m = 1; m < j; ++m)
        {
            opt[m][j] = opt[m][m];
            d[m][j] = d[m][j - 1];
        }

        for(int m = j; m <= n; ++m)
        {
            opt[m][j] = opt[m][j - 1];
            d[m][j] = d[m][j - 1];
            for(int i = 1; i < m; ++i)
            {
                value_type cost = std::max(opt[i][j - 1], opt[m][1] - opt[i][1]);
                if(opt[m][j] > cost)
                {
                    opt[m][j] = cost;
                    d[m][j] = i;
                }
            }
        }
    }

    //输出分段点到一个list
    std::list<int> index_seg;
    int j = k;
    int m = n;
    while(j > 0)
    {
        if(m < j)
            j = m;
        index_seg.insert(index_seg.begin(), m);
        m = d[m][j];
        j -= 1;
    }
    return index_seg;
}


int main()
{
    //int a[] = {1,2,3,4,5,6,7,8,9};
    int a[] = {1,1,1,1,1,1,1,1,1};
    auto id1 = linear_partion(a + 0, a + 9, 3);
    for(auto &x : id1)
        std::cout << x << ",";
    std::cout << std::endl;

    int b[] = {1,2,3,4,5,6,7,8,9};
    auto id2 = linear_partion(b + 0, b + 9, 3);
    for(auto &x : id2)
        std::cout << x << ",";
    std::cout << std::endl;

}

结果分别为

3， 6， 9

和

5，7，9.