《算法导论》CH6 习题6.3-3的证明

求证：在任一含n个元素的堆中，至多有┌n/2h+1┐w个高度为h的节点。

首先解释一下名词的概念：
节点高度(height of node)：从在该节点下的最低的叶子向上，该节点所在的层数
节点深度(depth of node)：从根节点向下，经过的层数。
注意：以上计数都是从0开始的，如图1：
节点4的高度为2，深度为2
节点5的高度为1，深度为2
因此，属于同一层的节点一定有同样的深度，但是高度可能相同，也可能相差1.

          

                        图1                                                                    图2

证明：(1)先证当h=0时，该结论是成立的。
h=0，即高度为0的节点，显然是叶子节点，这些节点有两种，第一种A在树的最下面的一层的所有节点，第二种B是在倒数第二层没有叶子结点的结点。对于有n个节点的堆：
当n为奇数时，如图1所示，叶子节点共有k₁=┌n/2┐个，相应地非叶子节点有k₂=n-┌n/2┐=└n/2┘个，可以看出k₁=k₂+1，即n=2*k₁-1，得出k₁=(n+1)/2=┌n/2^0＋1┐(因为n为奇数)，属于叶子节点的高度都为0，即我们要证的h=0，得证。
当n为偶数时，如图2，可以利用n为奇数时的结论，为其添加一个节点，研究n+1个节点的叶子节点。有叶子节点k₁'=┌(n＋1)/2┐=n/2+1个，n+1=2*k₁'-1，k₁'比k₁多一个添加的叶子节点，故k₁=k₁'-1=n/2=┌n/2^0＋1┐(因为n为偶数)。

(2)下面证，已知高度为h-1的节点至多有┌n/2^h┐个，高度为h的点至多有┌n/2^h+1┐个。
对于高度为h-1的点，无论它是叶子节点还是内部节点，它们的所有的父节点一定是高度为h的节点，所以可以从这里下手，已知高度为h-1的节点至多有┌n/2h┐,刚它的父节点个数为C＝┌┌n/2^h┐/2┐。
当n为奇数时，┌n/2^h┐＝(n＋1)/2^h，上式可化为C＝┌(n＋1)/2^h＋1┐，同样因为n为奇数，C＝┌n/2^h＋1┐；当n为偶数时，┌n/2^h┐＝n/2^h，父节点个数为C＝┌(n/2^h)/2┐＝┌n/2^h+1┐。
综上，可得证。

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吐糟一下，网上有算法导论的答案，参考了一下，觉得外国人分析的也真挺严密的，以上是我的理解。还是要原创嘛。

数学符号实在找不到，只能先用这个奇怪的┌┐代替，哈哈，发现自己已经习惯用这个了。

第一次用GIMP作图，把PS的思想全盘搬，发现自己快要疯掉了，没办法，要用Linux就要逐渐摆脱对各种软件的信赖。

以上如果有不严密的地方，欢迎一起来討論。