为什么各位数之和能被3整除的数就是3的倍数？

设一个n位数number，从个位起每一位为a1 ... an

则number = a1 + a2 * 10 + a3 * 10^2 + ... + an * 10^n-1; (1)

 

先证必要性：

如果number的各位数之和是3的倍数，

则a1 + a2 + ... an = 3k (k为正整数); (2)

由(2)得a1 = 3k - (a2 + a3 + ... an); (3)

将(3)代入(1)得：

number = 3k + a2 * (10 - 1) + a3 * (10^2 - 1) + ... + an * (10^n-1 - 1); (4)

显然(4)式右端任意一项都可以被3整除，故number可被3整除。

且倍数为k + a2 * 3 + a3 * 3^2 + ... + an * 3^n-1。

 

再证充分性：

如果number可以被3整除，那么number = 3m (m为正整数); (5)

(5)结合(1)得a1 + a2 * 10 + a3 * 10^2 + ... + an * 10^n-1 = 3m; (6)

由(6)得a1 = 3m - (a2 * 10 + a3 * 10^2 + ... + an * 10^n-1); (7)

那么a1 + a2 + ... an = 3m + a2 * (1 - 10) + a3 * (1 - 10^2) + ... + an * (1 - 10^n-1); (8)

显然(8)式右端任意一项都可以被3整除，故number的各位数之和是3的倍数。

且倍数为m + a2 * (-3) + a3 * (-3^2) + ... + an * (-3^n-1)。