[HNOI2010]BUS 公交线路

题目描述

小Z所在的城市有N个公交车站，排列在一条长(N-1)km的直线上，从左到右依次编号为1到N，相邻公交车站间的距离均为1km。 作为公交车线路的规划者，小Z调查了市民的需求，决定按下述规则设计线路：1.设共K辆公交车，则1到K号站作为始发站，N-K+1到N号台作为终点站。2.每个车站必须被一辆且仅一辆公交车经过（始发站和终点站也算被经过）。 3.公交车只能从编号较小的站台驶往编号较大的站台。 4.一辆公交车经过的相邻两个站台间距离不得超过Pkm。 在最终设计线路之前，小Z想知道有多少种满足要求的方案。由于答案可能很大，你只需求出答案对30031取模的结果。

输入输出格式

输入格式：

仅一行包含三个正整数N K P，分别表示公交车站数，公交车数，相邻站台的距离限制。N<=10^9，1<P<=10，K<N，1<K<=P

输出格式：

仅包含一个整数，表示满足要求的方案数对30031取模的结果。

输入输出样例

输入样例#1： 复制

样例一：10 3 3
样例二：5 2 3
样例三：10 2 4

输出样例#1： 复制

1
3
81

说明

【样例说明】

样例一的可行方案如下： (1,4,7,10)，(2,5,8)，(3,6,9)

样例二的可行方案如下： (1,3,5)，(2,4) (1,3,4)，(2,5) (1,4)，(2,3,5)

P<=10 , K <=8

原条件可以转化为任意长为p的连续车站有k种车

于是状压，令f[i][S],表示前i个车站，前p个车站状态为S

状态为S的第j位为1表示从i开始，表示那一位是那一种车最靠近i的车站

那么S为合法的条件为有且只有k位为1

构造转移矩阵，矩阵快速幂

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
struct Matrix
{
  int a[131][131];
}Mat,ans,res;
int cnt,Mod=30031,n,k,p,c[2001],w[2001],s[2001];
Matrix operator*(const Matrix &a,const Matrix &b)
{int i,j,l;
  Matrix res;
  memset(res.a,0,sizeof(res.a));
  for (i=1;i<=cnt;i++)
    {
      for (j=1;j<=cnt;j++)
    {
      for (l=1;l<=cnt;l++)
        {
          res.a[i][j]+=a.a[i][l]*b.a[l][j]%Mod;
          if (res.a[i][j]>=Mod)
          res.a[i][j]-=Mod;
        }
    }
    }
  return res;
}
Matrix qpow(int y)
{int i;
  for (i=1;i<=cnt;i++)
    res.a[i][i]=1;
  while (y)
    {
      if (y&1) res=res*Mat;
      Mat=Mat*Mat;
      y>>=1;
    }
  return res;
}
int main()
{int i,j,x;
  cin>>n>>k>>p;
  c[0]=0;
  for (i=1;i<(1<<p);i++)
    {
      c[i]=c[i-(i&(-i))]+1;
      if (c[i]==k&&(i&(1<<p-1)))
    {
      w[i]=++cnt;
      s[cnt]=i;
    }
    }
  for (i=1;i<=cnt;i++)
    {
      if (s[i]&1)
    {
      Mat.a[i][w[(s[i]>>1)|(1<<p-1)]]=1;
    }
      else
    {
      for (j=0;j<p;j++)
        if (s[i]&(1<<j))
        {
          Mat.a[i][w[((s[i]^(1<<j))>>1)|(1<<p-1)]]=1;
        }
    }
    }
  x=(1<<p)-(1<<(p-k));
  ans.a[1][w[x]]=1;
  ans=ans*qpow(n-k);
  printf("%d\n",ans.a[1][w[x]]);
}