BZOJ 4916 神犇和蒟蒻

Description

很久很久以前，有一只神犇叫yzy;

很久很久之后，有一只蒟蒻叫lty;

Input

请你读入一个整数N;1<=N<=1E9,A、B模1E9+7;

Output

请你输出一个整数A=\sum_{i=1}^N{\mu (i^2)};

请你输出一个整数B=\sum_{i=1}^N{\varphi (i^2)};

Sample Input

1

Sample Output

1
1

第一问很好笑，众所周知，μ(i*j)如果gcd(i,j)!=1,那么μ(i*j)就是0

也就是说，第一问无论n多大就是1

第二问可以转化为$\sum_{i=1}^ni*\phi(i)$

这是从定义式推来的

令

$f[n]=n*\phi(n)$

$S[n]=\sum_{i=1}^ni*\phi(i)$

然后就是杜教筛

$g(1)S(n)=\sum_{i=1}^n(f*g)(i)-\sum_{i=2}^ng(i)S(\frac{n}{i})$

$\sum_{i=1}^n(f*g)(i)$
$=\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}f(\frac{i}{d})g(d)$
$=\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}\frac{i}{d}\phi(\frac{i}{d})g(d)$

因为$\sum_{d|i}\phi(d)=i$
所以令g(x)=x
$=\sum_{i=1}^n{i}\sum_{d|i}\phi(\frac{i}{d})$
$=\sum_{i=1}^ni^2$

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<map>
using namespace std;
typedef long long lol;
int N=8000000,Mod=1e9+7,inv6;
int prime[1000001],phi[8000000+5],n,tot;
bool vis[8000000+5];
map<int,int> M;
int qpow(int x,int y)
{
  int res=1;
  while (y)
    {
      if (y&1) res=1ll*res*x%Mod;
      x=1ll*x*x%Mod;
      y>>=1;
    }
  return res;
}
int query(int x)
{int i,pos;
  if (x<=N) return phi[x];
  if (M[x]) return M[x];
  int as=1ll*(x+1)*x%Mod*(2*x+1)%Mod*inv6%Mod;
  for (i=2;i<=x;i=pos+1)
    {
      pos=x/(x/i);
      as-=(1ll*(pos+i)*(pos-i+1)/2)%Mod*query(x/i)%Mod;
      as=(as+Mod)%Mod;
    }
  return M[x]=as;
}
void pre()
{int i,j;
  phi[1]=1;
  for (i=2;i<=N;i++)
    {
      if (vis[i]==0)
    {
      prime[++tot]=i;
      phi[i]=i-1;
    }
      for (j=1;j<=tot;j++)
    {
      if (1ll*i*prime[j]>N) break;
      vis[i*prime[j]]=1;
      if (i%prime[j]==0)
        {
          phi[i*prime[j]]=1ll*phi[i]*prime[j]%Mod;
          break;
        }
      else phi[i*prime[j]]=1ll*phi[i]*(prime[j]-1)%Mod;
    }
    }
  for (i=1;i<=N;i++)
    {
      phi[i]=(1ll*i*phi[i]%Mod+phi[i-1])%Mod;
    }
}
int main()
{
  cin>>n;
  cout<<1<<endl;
  N=min(N,n);
  pre();
  inv6=qpow(6,Mod-2);
  printf("%d\n",query(n));
}