B样条

      在数学的子学科数值分析里,B-样条是样条曲线一种特殊的表示形式。它是B-样条基曲线的线性组合。B-样条是贝兹(贝塞尔)曲线的一种一般化,可以进一步推广为非均匀有理B样条(NURBS),使得我们能给更多一般的几何体建造精确的模型。

常数B样条

常数B样条是最简单的样条。只定义在一个节点距离上,而且不是节点的函数。它只是不同节点段(knot span)的标志函数(indicator function)。

b_{j,0}(t) = 1_{[t_j,t_{j+1})} =
\left\{\begin{matrix} 
1 & \mathrm{} \quad t_j \le t < t_{j+1} \\
0 & \mathrm{...} 
\end{matrix}
\right.

线性B样条

线性B样条定义在两个相邻的节点段上,在节点连续但不可微。

b_{j,1}(t) = 
\left\{\begin{matrix} 
\frac{t - t_j}{t_{j+1} - t_j} & \mathrm{if} \quad t_j \le t < t_{j+1} \\
\frac{t_{j+2} - t}{t_{j+2} - t_{j+1}} & \mathrm{ } \quad t_{j+1} \le t < t_{j+2} \\
0 & \mathrm{... } 
\end{matrix}
\right.

三次B样条

一个片断上的B样条的表达式可以写作:

S_{i} (t) = \sum_{k=0}^3 \mathbf{P}_{i-3+k} b_{i-3+k,3} (t) \qquad \mbox{ , } t \in [0,1]

其中Si是第i个B样条片断而P是一个控制点集,ik是局部控制点索引。控制点的集合会是P_i^w = ( w_i x_i, w_i y_i, w_i z_i, w_i)的集合,其中w_i是比重,当它增加时曲线会被拉向控制点P_i,在减小时则把曲线远离该点。


片段的整个集合m-2条曲线(S_3,S_4,...,S_m)由m+1个控制点(P_0,P_1,...,P_m, m \ge 3)定义,作为t上的一个B样条可以定义为

S(t) = \sum_{i=0}^m \mathbf{P}_{i} b_{i,} (t)

其中i是控制点数,t是取节点值的全局参数。这个表达式把B样条表示为B样条基函数的线性组合,这也是这个名称的原因。

有两类B样条-均匀和非均匀。非均匀B样条相邻控制点间的距离不一定要相等。一个一般的形式是区间随着插入控制点逐步变小到0。

关于插值与样条的介绍请看:http://www.cnblogs.com/WhyEngine/p/4020294.html

核心代码:

 1 void    YcBSpline::BuildWeights()
 2 {
 3     ClearWeights();
 4 
 5     for (Yuint i = 0; i < 4; i++)
 6     {
 7         m_splineWeights[i] = (Yreal*)malloc((m_subD)*sizeof(Yreal));
 8         m_tangentWeights[i] = (Yreal*)malloc((m_subD)*sizeof(Yreal));
 9     }
10 
11     Yreal u, u_2, u_3;
12     for (Yuint i = 0; i < m_subD; i++)
13     {
14         u = (float)i / m_subD;
15         u_2 = u * u;
16         u_3 = u_2 * u;
17 
18         // 参见"游戏编程精粹1"P331
19         m_splineWeights[0][i] = (-1.0f*u_3 + 3.0f*u_2 - 3.0f*u + 1.0f)/6.0f;
20         m_splineWeights[1][i] = ( 3.0f*u_3 - 6.0f*u_2 + 0.0f*u + 4.0f)/6.0f;
21         m_splineWeights[2][i] = (-3.0f*u_3 + 3.0f*u_2 + 3.0f*u + 1.0f)/6.0f;
22         m_splineWeights[3][i] = ( 1.0f*u_3 + 0.0f*u_2 + 0.0f*u + 0.0f)/6.0f;
23 
24         // 参见"游戏编程精粹1"P333
25         m_tangentWeights[0][i] = (-1.0f*u_2 + 2.0f*u - 1.0f)*0.5f;
26         m_tangentWeights[1][i] = ( 3.0f*u_2 - 4.0f*u + 0.0f)*0.5f;
27         m_tangentWeights[2][i] = (-3.0f*u_2 + 2.0f*u + 1.0f)*0.5f;
28         m_tangentWeights[3][i] = ( 1.0f*u_2 + 0.0f*u + 0.0f)*0.5f;
29     }
30 }

切图:

      相关软件的下载地址为:https://files.cnblogs.com/WhyEngine/TestSpline.zip

      最后要注意的是:B样条曲线不会经过其控制点。靠,我一直以为是经过的。因为B样条是我唯一在项目中使用过的。我用它来平滑游戏中角色刀光所划出的曲面,不过这种细节也没必要再去修改了。

 

posted on 2014-10-14 07:24  叶飞影  阅读(8772)  评论(1编辑  收藏  举报