BZOJ4259 - 残缺的字符串
Description
给出一个长度为\(m(m\leq3\times10^5)\)的字符串\(A\)，一个长度为\(n(m\leq3\times10^5)\)的字符串\(B\)，其中仅包含小写字母\(a\)~\(z\)和通配符\(*\)。求对于每个\(i\in[0,n-m]\)，\(B_{i..i+m-1}\)是否能与\(A_{0..m-1}\)匹配。
Solution
没想到这居然是个FFT！
定义\(d(x)=\sum_{i=0}^{m-1} A_i B_{x+i}(A_i-B_{x+i})^2\)，则\(d(x)=0 \Leftrightarrow B_{x..x+m-1}\)与\(A_{0..m-1}\)匹配。将\(A\)翻转为\(A'\)，令\(f(x)=d(x-m+1)\)，则有：
\[\begin{align*}
f(x)=d(x-m) &= \sum_{i=0}^{m-1} A'_{m-i-1} B_{x-m+1+i}(A'_{m-i}-B_{x-m+i})^2 \\
f(x) &= \sum_{i=0}^{m-1}A'_iB_{x-i}(A'_i-B_{x-i})^2 \\
f(x) &= \sum_{i=0}^{m-1}A'^3_iB_{x-i} - 2\sum_{i=0}^{m-1}A'^2_iB^2_{x-i} + \sum_{i=0}^{m-1}A'_iB^3_{x-i}
\end{align*}$$用FFT计算所有的$f(x)$即可。注意频域加减等价于时域加减，所以只用做7遍FFT。
> 时间复杂度$O(7nlogn)。$
##Code
**`std::complex`太慢！要是想过这个题得手写`complex`**
```cpp
//残缺的字符串
#include <algorithm>
#include <complex>
#include <cstdio>
using std::swap;
typedef std::complex<double> cpx;
int const N=(1<<20)+10;
double const PI=acos(-1);
double const EPS=1e-5;
int n,m,a0[N],b0[N]; char s[N];
int t,pos[N]; cpx a[N],b[N],c[N];
void write(cpx x) {printf("(%.2lf %.2lf) ",x.real(),x.imag());}
bool equal0(cpx x) {return (int)(x.real()+0.5)==0;}
void FFT(cpx x[],int f)
{
for(int i=0;i<t;i++) if(i<pos[i]) swap(x[i],x[pos[i]]);
for(int i=1;i<t;i<<=1)
{
cpx Wn=cpx(cos(PI/i),f*sin(PI/i));
for(int j=0;j<t;j+=i+i)
{
cpx w=1;
for(int k=0;k<i;k++,w=w*Wn)
{
cpx p=x[j+k],q=w*x[j+k+i];
x[j+k]=p+q,x[j+k+i]=p-q;
}
}
}
if(f==-1) for(int i=0;i<t;i++) x[i]/=t;
}
void convo(int k1,int k2)
{
for(int i=0;i<t;i++) a[i]=pow(a0[i],k1);
for(int i=0;i<t;i++) b[i]=pow(b0[i],k2);
FFT(a,1),FFT(b,1);
for(int i=0;i<t;i++) c[i]=a[i]*b[i];
}
cpx f[N]; int cnt,ans[N];
int main()
{
scanf("%d%d",&m,&n);
scanf("%s",s); for(int i=0;i<m;i++) a0[m-i-1]=s[i]^'*'?s[i]:0;
scanf("%s",s); for(int i=0;i<n;i++) b0[i]=s[i]^'*'?s[i]:0;
t=1; int n0=0; while(t<=n+m) t<<=1,n0++;
for(int i=0;i<t;i++) pos[i]=(pos[i>>1]>>1)|((i&1)<<(n0-1));
convo(3,1); for(int i=0;i<t;i++) f[i]+=c[i];
convo(2,2); for(int i=0;i<t;i++) f[i]-=c[i]+c[i];
convo(1,3); for(int i=0;i<t;i++) f[i]+=c[i];
FFT(f,-1);
int cnt=0;
for(int i=m-1;i<n;i++) if(equal0(f[i])) ans[++cnt]=i-m+2;
printf("%d\n",cnt); if(!cnt) return 0;
for(int i=1;i<=cnt;i++) printf("%d ",ans[i]);
puts("");
return 0;
}
```
##P.S.
其实复杂度是$7\times2^{20}\times20 \approx 1.4\times10^8$，本来就会T的。
不想手写`complex`，弃了弃了...\]
