公钥算法之RSA算法
与背包算法一样，这算法也是一个非对称算法。这里不写证明之类的定理推论了，需要的话网上可以搜到到很多，书本例如算法导论也有详细的证明。简写一下算法的步骤：
•(1)选择两个大素数P、Q ，其中P!=Q（这里使用 Miller_Rabin近似算法 确定素数）
(2)计算N=P*Q
(3)选择一个小奇数作为公钥（加密密钥）E，使其与(P-1)*(Q-1)互质（使用 扩展欧几里德算法 求出）
(4)选择私钥（解密密钥）D，满足如下条件：
(D*E) mod (P-1)(Q-1)=1（使用 扩展欧几里德Extend_Euclid(E,(P-1)*(Q-1))=1,求E的逆元，即为D）
(5)加密时，明文PT计算密文CT如下：
CT=PT^E mod N (使用 反复平方求数的幂 来加密和解密)
(6)解密时，从密文CT计算明文PT如下：
PT=CT^D mod N
代码如下，有错还请指出：
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>
int bi[1000];
typedef struct Tri//三元组结构
{
__int64 d,x,y;
}Tri;
__int64 Modular_Exponentiation(__int64 a,__int64 b,__int64 n)
{
__int64 i,c=0,d=1;
for(i=0;b;i++)//十进制转为二进制
{
bi[i]=b%2;
b=b>>1;
}
for(i=i-1;i>=0;i--)//由二进制高位开始反复平方
{//变量c没实际用处，只用来理解运算过程
c=c*2,d=d*d%n;
if(bi[i]) c=c+1,d=d*a%n;
// printf("%I64d: bi=%I64d c=%I64d d=%I64d\n",i,bi[i],c,d);
}
return d;
}
bool Witness(__int64 a,__int64 n)
{//以a作基,测试n是否为合数,返回true为合数，false不为合数。
__int64 x,temp,i,b=n-1,t,len,u=0,sum;//n-1=2^t*u,u为奇数
for(i=0;b;i++) {bi[i]=b%2;b=b>>1;}
len=i-1;
for(i=t=0;!bi[i];i++) t++;
for(i=t;i<=len;i++)//求出u
{
temp=i-t;
if(bi[i]==0) continue;
sum=1;
while(temp)
{
sum*=2;
temp--;
}
u+=sum;
}
// printf("u=%I64d\n",u);
x=Modular_Exponentiation(a,u,n);
for(i=0;i<t;i++)
{
temp=x;
x=x*x%n;
if(x==1&&temp!=1&&temp!=n-1)
return true;//仅当n为合数时，对模n才可能存在1的非平凡平方根
}
if(x!=1) return true;//费马定理
return false;
}
bool Miller_Rabin(__int64 n,__int64 s)
{//判断素数
__int64 i,a;
for(i=0;i<s;i++)
{
a=0;
while(!a) a=rand()%n+1;
// printf("a=%I64d\n",a);
if(Witness(a,n)) return false;//确定是合数
}
return true;//很可能是素数
}
Tri Extend_Euclid(__int64 a,__int64 b)
{//扩展欧几里德算法
Tri t,t2;
if(b==0) {t.d=a,t.x=1,t.y=0;return t;}
t2=Extend_Euclid(b,a%b);
t.d=t2.d;t.x=t2.y;t.y=t2.x-a/b*t2.y;
return t;
}
__int64 Find_E(__int64 n)
{//寻找与(P-1)*(Q-1)互质的小奇数E
Tri t;
__int64 i;
do
{
i=rand()%97+3;//随即生成3-100内的数
// printf("i=%I64d\n",i);
if(i%2)//判断是否奇数
t=Extend_Euclid(i,n);
if(t.d==1) return i;//若互质，找到
}while(1);
return 0;
}
__int64 Encode(__int64 PT,__int64 E,__int64 N)
{
__int64 CT;
CT=Modular_Exponentiation(PT,E,N);
return CT;
}
__int64 Decode(__int64 CT,__int64 D,__int64 N)
{
__int64 PT;
PT=Modular_Exponentiation(CT,D,N);
return PT;
}
void RSA()
{
Tri t;
__int64 D,E,N,P,Q,sign,input,CT,PT;
srand(time(NULL));
do//假设随机选出50-100内的素数P
{
P=rand()%50+50;
// printf("P:%I64d\n",P);
}while(!Miller_Rabin(P,10));
do//假设随机选出50-100内的素数Q
{
Q=rand()%50+50;
if(P==Q) continue;//P不能等于Q
// printf("Q:%I64d\n",Q);
}while(!Miller_Rabin(Q,10));
printf("随机素数P=%I64d,Q=%I64d\n",P,Q);
N=P*Q;
printf("N=P*Q=%I64d\n",N);
E=Find_E((P-1)*(Q-1));//随即产生公钥
printf("公钥E为：%I64d\n",E);
t=Extend_Euclid(E,(P-1)*(Q-1));//求逆元私钥
D=t.x;
while(D<=0) D+=(P-1)*(Q-1);//将负逆元转正
printf("私钥D为：%I64d\n",D);
printf("请输入解密(0)/加密(1)标记和数字文本(%I64d<=数字<=%I64d)\n",-N+2,N-2);
printf("输入：%I64d %I64d退出\n",N,N);
while(scanf("%I64d %I64d",&sign,&input),sign!=N||input!=N)
{
if(sign)//加密
{
CT=Encode(input,E,N);
printf("加密后密文：%I64d\n",CT);
}
else//解密
{
PT=Decode(input,D,N);
printf("解密后明文：%I64d\n",PT);
}
}
return ;
}
int main()
{
RSA();
return 0;
}
在这里感谢高老师的辛勤教导！
