对顶堆学习笔记

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对顶堆


处理动态中位数等问题,灵活运用了堆的性质,本质是维护两个堆。

大根堆\(Q_1\):维护集合中较小值的部分的最大值。

小根堆\(Q_2\):维护集合中较大值的部分的最小值。

注意到两个堆中的元素各自是单调的,两个堆间也是单调的。也就是说,\(Q_1\)中的任何一个元素都不大于\(Q_2\)中的任何一个元素。

那么假设高度为权值,两个堆可以形象化的表示成:

如果两个堆的大小相差不超过\(1\),较大的那个堆的堆顶必定是中位数(偶数个数时中位数是排序后中间的两个之一)

\(UPD:\) 图中的 \(Q1\)\(Q2\) 标反了,权值是越高越大。

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具体操作


  • 插入

    先找到当前正确的集合插入,比较与堆顶的大小关系,大于小根堆的堆顶就插入大根堆,反之小根堆。

    调整两个堆的大小关系,因为两个堆不管是总体上还是各自内都是满足单调性的,所以每次取更大的堆的堆顶,插入另一个堆,直到两个堆的大小相差不超过\(1\)

    代码使用的是\(STL\)\(priority\_queue\),默认大根堆所以\(Q_1\)需要通过相反数实现。

    (!q2.size()||x>q2.top())?q1.push(-x):q2.push(x);
    while(q1.size()>q2.size()+1){q2.push(-q1.top());q1.pop();}
    while(q2.size()>q1.size()+1){q1.push(-q2.top());q2.pop();}
    
  • 查询

    直接输出比较大的堆的堆顶就好,注意\(Q_1\)的输出。

    if(i&1) printf("%d\n",(q1.size()>q2.size())?-q1.top():q2.top());
    
  • 扩展

    动态\(K\)大值:维护思想不变,只需要让\(Q_1\)的大小为\(K\)即可。

    带删除\(K\)大值\(/\)中位数:手写可删堆\(/\)打标记懒惰删除法

  • 模板

    \([\ POJ\ 3784\ ]\ Running\ Median\) 为例,只有插入操作,每插入到奇数个就输出当前中位数,多组数据。

    #include<cmath>
    #include<queue>
    #include<cstdio>
    #include<cctype>
    #include<cstdlib>
    #include<cstring>
    #include<iostream>
    #include<algorithm>
    #define N 100010
    #define R register
    #define gc getchar
    using namespace std;
    
    inline int rd(){
      int x=0; bool f=0; char c=gc();
      while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=1;c=gc();}
      while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=gc();}
      return f?-x:x;
    }
    
    int n,x,cnt;
    priority_queue<int> q1,q2,tmp;
    
    inline void work(){
      cnt=0; x=rd(); n=rd(); q1=tmp; q2=tmp;
      printf("%d %d\n",x,(n+1)/2);
      for(R int i=1,x;i<=n;++i){
      	x=rd();
        (!q2.size()||x>q2.top())?q1.push(-x):q2.push(x);
        while(q1.size()>q2.size()+1){q2.push(-q1.top());q1.pop();}
        while(q2.size()>q1.size()+1){q1.push(-q2.top());q2.pop();}
        if(i&1){
          printf("%d ",(q1.size()>q2.size())?-q1.top():q2.top());
          if((++cnt)==10&&i!=n) cnt=0,puts("");
        }
      }
      puts("");
    }
    
    int main(){
      int t=rd();
      while(t--) work();
      return 0;
    }
    

\(\\\)

一道例题


对一个集合一共有\(N\)次操作,计数器\(cnt\)初始为\(0​\)

  • \(ADD\ x\):把\(x\)放进该集合。

  • \(GET\):将\(cnt\)\(1\),输出集合种中第\(cnt\)小的数。

  • \(N\in [1,2\times 10^5]\)

\(\\\)

动态\(K\)小值,注意题目限制的\(Q_2\)大小是变化的,每次询问后记得调整好。

\(\\\)

#include<cmath>
#include<queue>
#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define N 200010
#define R register
#define gc getchar
using namespace std;

inline int rd(){
    int x=0; bool f=0; char c=gc();
    while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=1;c=gc();}
    while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=gc();}
    return f?-x:x;
}

int n,m,cnt,x,a[N];

priority_queue<int> q1,q2;

int main(){
    n=rd(); m=rd();
    for(R int i=1;i<=n;++i) a[i]=rd();
    x=rd();
    for(R int i=1;i<=n;++i){
        (!q2.size()||a[i]>q2.top())? q1.push(-a[i]):q2.push(a[i]);
        while(q2.size()>cnt) q1.push(-q2.top()),q2.pop();
        while(q2.size()<cnt) q2.push(-q1.top()),q1.pop();
        while(x==i){
            q2.push(-q1.top()); q1.pop();
            printf("%d\n",q2.top()); 
            x=((++cnt)<m)?rd():-1;
        }
    }
    return 0;
}
posted @ 2018-09-19 10:43  SGCollin  阅读(1739)  评论(2编辑  收藏  举报