对顶堆学习笔记
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对顶堆
处理动态中位数等问题，灵活运用了堆的性质，本质是维护两个堆。
大根堆\(Q_1\)：维护集合中较小值的部分的最大值。
小根堆\(Q_2\)：维护集合中较大值的部分的最小值。
注意到两个堆中的元素各自是单调的，两个堆间也是单调的。也就是说，\(Q_1\)中的任何一个元素都不大于\(Q_2\)中的任何一个元素。
那么假设高度为权值，两个堆可以形象化的表示成：
如果两个堆的大小相差不超过\(1\)，较大的那个堆的堆顶必定是中位数（偶数个数时中位数是排序后中间的两个之一）
\(UPD:\) 图中的 \(Q1\) 和 \(Q2\) 标反了，权值是越高越大。
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具体操作
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插入
先找到当前正确的集合插入，比较与堆顶的大小关系，大于小根堆的堆顶就插入大根堆，反之小根堆。
调整两个堆的大小关系，因为两个堆不管是总体上还是各自内都是满足单调性的，所以每次取更大的堆的堆顶，插入另一个堆，直到两个堆的大小相差不超过\(1\)。
代码使用的是\(STL\)的\(priority\_queue\)，默认大根堆所以\(Q_1\)需要通过相反数实现。
(!q2.size()||x>q2.top())?q1.push(-x):q2.push(x); while(q1.size()>q2.size()+1){q2.push(-q1.top());q1.pop();} while(q2.size()>q1.size()+1){q1.push(-q2.top());q2.pop();} -
查询
直接输出比较大的堆的堆顶就好，注意\(Q_1\)的输出。
if(i&1) printf("%d\n",(q1.size()>q2.size())?-q1.top():q2.top()); -
扩展
动态\(K\)大值：维护思想不变，只需要让\(Q_1\)的大小为\(K\)即可。
带删除\(K\)大值\(/\)中位数：手写可删堆\(/\)打标记懒惰删除法
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模板
以 \([\ POJ\ 3784\ ]\ Running\ Median\) 为例，只有插入操作，每插入到奇数个就输出当前中位数，多组数据。
#include<cmath> #include<queue> #include<cstdio> #include<cctype> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<iostream> #include<algorithm> #define N 100010 #define R register #define gc getchar using namespace std; inline int rd(){ int x=0; bool f=0; char c=gc(); while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=1;c=gc();} while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=gc();} return f?-x:x; } int n,x,cnt; priority_queue<int> q1,q2,tmp; inline void work(){ cnt=0; x=rd(); n=rd(); q1=tmp; q2=tmp; printf("%d %d\n",x,(n+1)/2); for(R int i=1,x;i<=n;++i){ x=rd(); (!q2.size()||x>q2.top())?q1.push(-x):q2.push(x); while(q1.size()>q2.size()+1){q2.push(-q1.top());q1.pop();} while(q2.size()>q1.size()+1){q1.push(-q2.top());q2.pop();} if(i&1){ printf("%d ",(q1.size()>q2.size())?-q1.top():q2.top()); if((++cnt)==10&&i!=n) cnt=0,puts(""); } } puts(""); } int main(){ int t=rd(); while(t--) work(); return 0; }
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一道例题
对一个集合一共有\(N\)次操作，计数器\(cnt\)初始为\(0\)：
\(ADD\ x\)：把\(x\)放进该集合。
\(GET\)：将\(cnt\)加\(1\)，输出集合种中第\(cnt\)小的数。
\(N\in [1,2\times 10^5]\)
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动态\(K\)小值，注意题目限制的\(Q_2\)大小是变化的，每次询问后记得调整好。
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#include<cmath>
#include<queue>
#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define N 200010
#define R register
#define gc getchar
using namespace std;
inline int rd(){
int x=0; bool f=0; char c=gc();
while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=1;c=gc();}
while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=gc();}
return f?-x:x;
}
int n,m,cnt,x,a[N];
priority_queue<int> q1,q2;
int main(){
n=rd(); m=rd();
for(R int i=1;i<=n;++i) a[i]=rd();
x=rd();
for(R int i=1;i<=n;++i){
(!q2.size()||a[i]>q2.top())? q1.push(-a[i]):q2.push(a[i]);
while(q2.size()>cnt) q1.push(-q2.top()),q2.pop();
while(q2.size()<cnt) q2.push(-q1.top()),q1.pop();
while(x==i){
q2.push(-q1.top()); q1.pop();
printf("%d\n",q2.top());
x=((++cnt)<m)?rd():-1;
}
}
return 0;
}
