最小圆覆盖

提交：洛谷1742 & BZOJ1336 & BZOJ1337

算法流程##

将所有点随机打乱【这很重要】
之后分为三层：
①从头枚举点，维护最小圆
如果当前点在当前圆内，跳过
否则，执行操作②

②当前点既然在圆外，记为\(i\)号点，说明\(i\)号点一定是前\(i\)个点构成的最小圆的边界上的点，那么固定\(i\)号点为边界点，从头枚举点再构一次圆
当枚举到点\(j\)使得\(j\)在圆外时，执行③
枚举到\(i\)后，又维护好了一个最小圆，返回到①继续枚举

③同理，当前点\(i\)和\(j\)同为前\(j\)个点和\(i\)构成的最小圆边界上的点，固定其为边界点，再次重头枚举点构圆
如果再次枚举到一个点\(k\)在圆外时，我们有了三个点，圆确定，不需要从头枚举
直至枚举到\(j\)，包含\(i\)的\(1\)到\(j\)的最小圆确定

直至①枚举完，最小圆确定

复杂度分析##

直观来看，枚举分为三层，最坏是\(O(n^3)\)的，但是由于序列的随机性，期望直接达到\(O(n)\)

证明：

枚举到第\(i\)个点时，该点在前\(i\)个点最小圆上的概率为\(\frac{3}{i}\)，因为三点确定一个圆
故时间复杂度
\(O(①) = O(n + 3\sum_{i=1}^{n - 1} \frac{1}{i} * O(i,②))\)
\(O(n,②) = O(n - 1 + 2\sum_{i=1}^{n - 1} \frac{1}{i} * O(i,③))\)
\(O(n,③) = O(n)\)

故
\(O(n,②) =O(n - 1 + 2\sum_{i=1}^{n - 1} \frac{1}{i} * O(i)) = O(n - 1 + 2 * O(n)) = O(n)\)
\(O(①) = O(n + 3\sum_{i=1}^{n - 1} \frac{1}{i} * O(i)) = O(n + 3 * O(n)) = O(n)\)

故总的复杂度\(O(n)\)

证毕.