Splay

Splay

还是前面那个模板。注意所有操作以后都要splay一次，避免被卡掉。

splay的复杂度证明可看论文（知乎的相关问题中有链接），大体思想是定义树的势函数，进行势能分析，可证得splay一次的时间复杂度是\(O(logn)\)。由于被splay的点就是被查询的点，并且查询一个点A的路径和splay点A的路径是同一个，因此只要每次操作查询一个点以后都splay一下，可以保证时间复杂度一定控制在均摊\(O(logn)\)内。然而实测洛谷模板题上，atrank操作，pre和next操作的第二个find不用splay反而跑的更快0.0（不过也没快多少）。

补充一下具体的东西。一个点势函数的定义是\(rank(x)=klog_2size(x)\)

再插一句，维护区间翻转的splay和这个splay不一样。在这个splay中，每个点的大小序号和中序遍历排名是一样的。但是在区间翻转的splay中，它们就不一样了。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int maxn=1e5+5, INF=1e9;
int n, m;

//不能像写treap那样写旋转，因为splay是一个单独的操作
struct Splay{
    int root, tot, siz[maxn], v[maxn], s[maxn][2], cnt[maxn], fa[maxn];
    inline void up(int x){ siz[x]=siz[s[x][0]]+siz[s[x][1]]+cnt[x]; }
    inline void clear(int x){ siz[x]=v[x]=s[x][0]=s[x][1]=cnt[x]=fa[x]=0; }
    inline int which(int x){ return s[fa[x]][0]==x?0:1; }
    inline void link(int f, int x, int p){
        s[f][p]=x; fa[x]=f; }
    inline void spin(int x){  //旋转x
        int f=fa[x], ff=fa[f];
        int p=which(x), fp=which(f);
        link(f, s[x][!p], p); link(x, f, !p); link(ff, x, fp);
        up(f); up(x);
    }
    void splay(int x, int dst){
    	int limit=fa[dst];
        for (int f; (f=fa[x])!=limit; spin(x))
            if (fa[f]) spin((which(x)==which(f))?f:x);  //如果有父亲的父亲，同侧先转父亲，否则先转儿子（为了避免势能分析失效）
        root=x;
    }
    //如果flag=0，若找不到，会找到前驱或后继
    //如果=1，若找不到，会创造一个点 
    int find(int x, int c, int flag){
        int f=0, p;
        while (true){
            siz[x]+=flag; f=x;
            if (c==v[x]){ cnt[x]+=flag; return x; }
            p=(c<v[x]?0:1); if (!s[x][p]) break;
            x=s[x][p];
        }
        if (flag==1){
        	x=++tot; siz[x]=cnt[x]=flag; v[x]=c;
        	fa[x]=f, s[f][p]=x; }
        return x;
    }
    void ins(int c){ int t=find(root, c, 1); splay(t, root); }
    int rank(int c){  //询问c的最小排名
        int t=find(root, c, 0); splay(t, root);
        return siz[s[t][0]];
    }
    int atrank(int c){  //询问第c个数
        int x=root; ++c; 
        while (x){
            int t=c-siz[s[x][0]];  //t:除了左子树中的点，还需要多少点
            if (t>0&&t<=cnt[x]) break;
            if (t<=0) x=s[x][0];
            else c=t-cnt[x], x=s[x][1];
        }
        return v[x];
    }
    int pre(int x){  //小于根的第一个点位置
        int t=find(root, x, 0); splay(t, root);
        if (v[t]>=x) t=find(s[t][0], INF, 0); 
        return v[t];
    }
    int nxt(int x){  //大于根的第一个点位置
        int t=find(root, x, 0); splay(t, root);
        if (v[t]<=x) t=find(s[t][1], -INF, 0);
        return v[t];
    }
    void del(int c){  //删除c 若cnt用完必须回收点，避免pre和nxt出错
        int t=find(root, c, -1); splay(t, root);
        if (cnt[t]) return; 
        splay(find(s[t][0], INF, 0), root);
        fa[s[t][1]]=root; s[root][1]=s[t][1];
        clear(t); up(root);
    }
    Splay(){ root=++tot; siz[1]=cnt[1]=1; v[1]=-INF; ins(INF); }  //这里有点稍稍不优美 
}splay;

int main(){
    scanf("%d", &n); int op, x;
    for (int i=0; i<n; ++i){
        scanf("%d%d", &op, &x);
        if (op==1) splay.ins(x);
        if (op==2) splay.del(x);
        if (op==3) printf("%d\n", splay.rank(x));
        if (op==4) printf("%d\n", splay.atrank(x));
        if (op==5) printf("%d\n", splay.pre(x));
        if (op==6) printf("%d\n", splay.nxt(x));
    }
    return 0;
}