HMM 隐马尔科夫算法(Hidden Markov Algorithm)初探

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1. 从一个虚构的例子引入马尔科夫模型 - 模型适合什么场景?解决了什么问题?
2. 马尔科夫模型
3. 套用马尔科夫模型三要素解决标注问题
4. 概率计算算法 - 解决马尔科夫模型中的概率计算问题
5. 学习算法 - 解决马尔柯夫模型中的学习问题(即最大似然估计模型参数)
6. 预测算法 - 求隐状态的最大似然问题(常见于解码问题场景)
7. 马尔科夫模型在实际场景中的应用

 

1. 从一个虚构的例子引入马尔科夫模型 - 模型适合什么场景?解决了什么问题?

0x1: 设定一个简单的虚构例子

掷骰子。假设我手里有三个不同的骰子
1. 第一个骰子是我们平常见的骰子(称这个骰子为D6),6个面,每个面(123456)出现的概率是1/6
2. 第二个骰子是个四面体(称这个骰子为D4),每个面(1234)出现的概率是1/4
3. 第三个骰子有八个面(称这个骰子为D8),每个面(12345678)出现的概率是1/8

我们构造的场景就是掷骰子实验:我们先从三个骰子里挑一个,挑到每一个骰子的概率未知,每次选的骰子对下一次选择是否有影响也是未知,唯一确定就是对每个骰子来说抛到某一个面的概率是相等的(即骰子是没有动过手脚的)

然后我们掷骰子,得到一个数字,不停的重复该过程,我们会得到一串数字

经过10次实验,我们得到一串数字:1 6 3 5 2 7 3 5 2 4

得到观测结果后,我们的目标是进行一些列概率估计:

1. 我们得到了这一串数字,每次抛骰子具体是3个中的哪个骰子是未知的,现在需要估计出整个10次实验中最可能的骰子类型是什么(即每次实验对应的骰子)
2. 我们得到了这一串数字,每次抛骰子具体是3个中的哪个骰子是未知的,现在需要估计出现这个观测结果(这一串数字)的概率有多大

0x1: 从独立同分布假设开始

对上面的问题,我们先建立一个基本假设,每次实验选择什么骰子是完全独立随机的(即 1/3),和上一次实验也不存在关系,,有了这个基本假设,我们现在可以开始进行最大似然估计
1. 我们得到了这一串数字,每次抛骰子具体是3个中的哪个骰子是未知的,现在需要估计出整个10次实验中最可能的骰子类型是什么(即每次实验对应的骰子)
以第一轮实验说明问题,我们写出概率表达式:P(S骰子= Sx,Res结果=1 | Model)
P(S骰子= S1,Res结果=1 | Model) = 1 / 6

P(S骰子= S2,Res结果=1 | Model) = 1 / 4

P(S骰子= S3,Res结果=1 | Model) = 1 / 8

这个场景很简单,求最大似然的解不需要求导即可得是 P(S骰子= S2,Res结果=1 | Model),即第一轮最有可能的骰子类型是2号骰子

同理根据最大似然估计原理可得全部10次实验的骰子类型序列:

Res:1,S = S2
Res:6,S = S1
Res:3,S = S2
Res:5,S = S1
Res:2,S = S2
Res:7,S = S3
Res:3,S = S2
Res:5,S = S1
Res:2,S = S2
Res:4,S = S2

插一句题外话,再仔细观察下数据,会发现Res在【1,4】范围中,最大似然结果都是S2,Res在【5,6】范围中,最大似然结果都是S1,而Rest在【7,8】,最大似然结果都是S3。这表明我们可以训练一个决策树模型去建立一个分类器,并且一定能得到较好的效果

2. 我们得到了这一串数字,每次抛骰子具体是3个中的哪个骰子是未知的,现在需要估计出现这个观测结果(这一串数字序列)的概率有多大

还是在独立同分布假设下,根据概率分布加法原理,我们可得每次实验出现指定结果的概率:

P(Res结果=1 | Model) = P(S骰子= S1,Res结果=1 | Model) + P(S骰子= S2,Res结果=1 | Model)+ P(S骰子= S3,Res结果=1 | Model) = 1 / 6 + 1 / 4 + 1 / 8 = 13 / 24
P(Res结果=6 | Model) = P(S骰子= S1,Res结果=1 | Model) + P(S骰子= S2,Res结果=6 | Model)+ P(S骰子= S3,Res结果=6 | Model) = 1 / 6 + 0 + 1 / 8 = 7 / 24
P(Res结果=3 | Model) = P(S骰子= S1,Res结果=1 | Model) + P(S骰子= S2,Res结果=3 | Model)+ P(S骰子= S3,Res结果=3 | Model) = 1 / 6 + 1 / 4 + 1 / 8 = 13 / 24
P(Res结果=5 | Model) = P(S骰子= S1,Res结果=1 | Model) + P(S骰子= S2,Res结果=5 | Model)+ P(S骰子= S3,Res结果=5 | Model) = 1 / 6 + 0 + 1 / 8 = 7 / 24
P(Res结果=2 | Model) = P(S骰子= S1,Res结果=1 | Model) + P(S骰子= S2,Res结果=2 | Model)+ P(S骰子= S3,Res结果=2 | Model) = 1 / 6 + 1 / 4 + 1 / 8 = 13 / 24
P(Res结果=7 | Model) = P(S骰子= S1,Res结果=1 | Model) + P(S骰子= S2,Res结果=7 | Model)+ P(S骰子= S3,Res结果=7 | Model) = 0 + 0 + 1 / 8 = 1 / 8
P(Res结果=3 | Model) = P(S骰子= S1,Res结果=1 | Model) + P(S骰子= S2,Res结果=3 | Model)+ P(S骰子= S3,Res结果=3 | Model) = 1 / 6 + 1 / 4 + 1 / 8 = 13 / 24
P(Res结果=5 | Model) = P(S骰子= S1,Res结果=1 | Model) + P(S骰子= S2,Res结果=5 | Model)+ P(S骰子= S3,Res结果=5 | Model) = 1 / 6 + 0 + 1 / 8 = 7 / 24
P(Res结果=2 | Model) = P(S骰子= S1,Res结果=1 | Model) + P(S骰子= S2,Res结果=2 | Model)+ P(S骰子= S3,Res结果=2 | Model) = 1 / 6 + 1 / 4 + 1 / 8 = 13 / 24
P(Res结果=4 | Model) = P(S骰子= S1,Res结果=1 | Model) + P(S骰子= S2,Res结果=4 | Model)+ P(S骰子= S3,Res结果=4 | Model) = 1 / 6 + 1 / 4 + 1 / 8 = 13 / 24

最后,求10次实验的联合概率即为出现指定观测序列的概率:

(13 / 24) * (7/24) *  (13 / 24) * (7/24) * (13 / 24) * (1/8) * (13 / 24) * (7/24) * (13 / 24) * (13 / 24) = 7.83363029759e-05

0x2: 马尔科夫假设 - 序列依赖性假设,每次掷的骰子取决于上一次掷的骰子,即掷骰子之间存在转换概率

在实验观测中,得到的一串数字:1 6 3 5 2 7 3 5 2 4 叫做可见状态链

同时在HMM马尔科夫假设中,每次实验之间并不是独立同分布的而是存在时序依赖关系(隐含状态链)(隐含状态链可以理解为转换概率的具体实验结果,但是实际问题中我们可能永远不知道实际的隐含状态链)

这导致掷骰子之间的转换概率(transition probability)分布是未知的(这等价于EM算法中的隐变量是未知的)

同样的,尽管可见状态之间没有转换概率,但是隐含状态可见状态之间有一个概率叫做输出概率(emission probability)。就我们的例子来说,六面骰(D6)产生1的输出概率是1/6。产生2,3,4,5,6的概率也都是1/6

回到例子中,我们假设隐含状态链为:D6 -> D8 -> D8 -> D6 -> D4 -> D8 -> D6 -> D6 -> D4 -> D8,下图为转换示意图。注意这只是一个假设,根据实验观测结果得到的EM最大似然估计可能并不一定是这个时序

1. 我们得到了这一串数字(可见状态链已知),每次抛骰子类型已知(转换概率已知),现在需要估计出整个10次实验中最可能的骰子类型是什么(即求隐状态序列)

这本质上是在根据实现结果(可见状态链),求时序的最大似然估计,因为转换概率已知,所以已经不存在隐变量了,所以不需要EM算法可以直接求最大似然

举例来说,我知道我有三个骰子,六面骰,四面骰,八面骰。我也知道我掷了十次的结果(1 6 3 5 2 7 3 5 2 4),我不知道每次用了那种骰子,我想知道最有可能的骰子序列。

其实最简单而暴力的方法就是穷举所有可能的骰子序列,然后把每个序列对应的概率算出来。然后我们从里面把对应最大概率的序列挑出来就行了。但是要注意的每次掷骰子之间并不是独立同分布的,所以所有序列要计算的次数是:1 + 2! + 3! + ... + 序列Length!,如果马尔可夫链不长,当然可行。如果长的话,穷举的数量太大,就很难完成了

另外一种很有名的算法叫做Viterbi algorithm. 要理解这个算法,算法的数学公式和推导我们在本章的后面会讨论,这里我们用简单的描述先来尝试理解它的思想:局部最优递推思想

首先,如果我们只掷一次骰子:

实验观测结果为1,根据最大似然原理对应的最大概率骰子序列就是D4,因为D4产生1的概率是1/4,高于1/6和1/8,所以P1(D4) = 1 / 3

以P1(D4)作为起点,把这个情况拓展(递推),我们掷两次骰子:

实验结果为1,6,我们计算三个值,分别是第二个骰子是D6,D4,D8的最大概率,根据最大似然原理,第二个骰子应该是D6,第二个骰子取到D6的最大概率是
P2(D6)=P(D4)*P(D4\rightarrow 1)*P(D4\rightarrow D6)*P(D6\rightarrow 6)
=\frac{1}{3} *\frac{1}{4} *\frac{1}{3} *\frac{1}{6}(复用了第一步的结果)
同样的,我们可以计算第二个骰子是D4或D8时的最大概率。我们发现,第二个骰子取到D6的概率最大。而使这个概率最大时,第一个骰子为D4。所以最大概率骰子序列就是D4 D6。

继续拓展,我们掷三次骰子:

同样,我们计算第三个骰子分别是D6,D4,D8的最大概率。我们再次发现,要取到最大概率,第二个骰子必须为D6(注意,当转移概率不是1/3等分的时候,当前步的前次依赖不一定是上一次的计算结果,也可能是其他值)。这时,第三个骰子取到D4的最大概率是P3(D4)=P2(D6)*P(D6\rightarrow D4)*P(D4\rightarrow 3)
=\frac{1}{216} *\frac{1}{3} *\frac{1}{4}
同上,我们可以计算第三个骰子是D6或D8时的最大概率。我们发现,第三个骰子取到D4的概率最大。而使这个概率最大时,第二个骰子为D6,第一个骰子为D4。所以最大概率骰子序列就是D4 D6 D4。

可以看到,掷多少次都可以以此类推。我们发现,我们要求最大概率骰子序列时要做这么几件事情

1. 首先,不管序列多长,要从序列长度为1算起,算序列长度为1时取到每个骰子的最大概率
2. 然后,逐渐增加长度,每增加一次长度,重新算一遍在这个长度下最后一个位置取到每个骰子的最大概率。因为上一个长度下的取到每个骰子的最大概率都算过了,重新计算的话其实不难。当我们算到最后一位时,就知道最后一位是哪个骰子的概率最大了
3. 然后,我们要把对应这个最大概率的序列从后往前推出来

2. 我们得到了这一串数字(可见状态链已知),现在需要估计出每次抛骰子类型已知(即求转换概率)

undone

3. 我们得到了这一串数字(可见状态链已知)每次抛骰子类型已知(转换概率已知),现在需要估计出现这个观测结果的概率有多大

其实本质上这相当于隐变量已知,则问题就退化为一个普通的概率求解问题,解决这个问题的算法叫做前向算法(forward algorithm),我们假设一个隐状态链

同时假设一个转换概率:

1. D6的下一个状态是D4,D6,D8的概率都是1/3
2. D4的下一个状态是D4,D6,D8的概率都是1/3
3. D8的下一个状态是D4,D6,D8的概率都是1/3

则结果公式为:

P = P(D6) * P(D6 -> 1) * P(D6 -> D8)* P(D8 -> 6) * P(D8 -> D8)* P(D8 -> 3) * P(D8 -> D6)* P(D6 -> 5) * P(D6 -> D4)* P(D4 -> 2) * P(D4 -> D8)* P(D8 -> 7) * P(D8 -> D6)* P(D6 -> 3) * P(D6 -> D6)* P(D6 -> 5) * P(D6 -> D4)* P(D4 -> 2) * P(D4 -> D8)* P(D8 -> 4) =

1 / 3 * 1 / 6 * 1 / 3 * 1 / 8 * 1 / 3 * 1 / 8 * 1 / 3 * 1 / 6 * 1 / 3 * 1 / 4 * 1 / 3 * 1 / 8* 1 / 3 * 1 / 6 * 1 / 3 * 1 / 6 * 1 / 3 * 1 / 4 * 1 / 3 * 1 / 8 = 1.99389608506e-13

可以看到,HMM衍生于EM,但是又在EM的基础上增加了一些特性,例如

1. 在HMM中,隐变量是转换概率。知道了转换概率,根据实验观测结果可以最大似然推测出时序
2. HMM中,隐变量和观测变量的关系是前者决定后者的关系,即输出概率

Relevant Link:

http://blog.163.com/zhoulili1987619@126/blog/static/353082012013113191924334/ 
https://www.zhihu.com/question/20962240

 

2. 马尔科夫模型 

0x1: 马尔科夫模型适用的场景 - 处理顺序数据

我们知道,在进行贝叶斯估计、SVM等分类的时候,我们常常基于一个大前提假设:数据集里的数据是独立同分布的。这个假设使得我们将似然函数表示为在每个数据点处计算的概率分布在所有数据点上的乘积。但是在实际应用中,还大量存在另一种场景是独立同分布步成立的,典型的如顺序数据的数据集,这些数据通常产生于沿着时间序列进行的测量(即带时序特征的样本),例如某个特定地区的连续若干天的降水量测量,或者每天汇率的值,或者对于语音识别任务在连续的时间框架下的声学特征,或者一个英语句子中的字符序列。

需要注意的是:时序只是顺序数据的一个特例,马尔科夫模型适用于所有形式的顺序数据

隐马尔可夫模型(hidden markov modle HMM)是可用于标注问题的统计学习模型,描述由隐藏的马尔柯夫链随机生成观测序列的过程,属于生成模型

隐马尔可夫模型可以用于标注,这时状态对应着标记。标注问题是给定观测的序列预测其对应的标记序列。可以假定标注问题的训练数据是由隐马尔柯夫模型生成的,这样我们可以利用隐马尔科夫模型的学习与预测算法进行标注

0x2: 马尔科夫假设 - 序列依赖(非独立同分布场景)

1. 对含有序列特征的数据集建立独立同分布假设不合理

为了理解马尔科夫假设,我们继续上一小节说到对顺序数据集的处理,毫无疑问,处理顺序数据的最简单的方式是忽略数据集中的顺序性质,而将所有观测看作是独立同分布

但是这种方法缺点就是无法利用数据中的顺序模式(在很多场景下这种假设都是不成立的)

2. 考虑当前状态和所有历史状态的依赖关系

我们来对假设进行一些改进,我们假设:每一个当前状态都与此之前的所有状态存在依赖关系,即今天是否下雨其实是由今天之前的整个慢慢历史场合的所有日子是否下雨的结果而决定的(因果论),即:

从某种程度上来说,这种假设没毛病,理论上它是成立的,但问题在于计算量太过巨大,我们为了预测明天的天气,要把地球形成之初到昨天所有的天气情况都输入模型进行训练,这种计算量是不可接受的

3. 马尔科夫假设 - 只考虑相邻历史的序列依赖关系

类似于独立同分布假设,马尔科夫假设建立了一个近似逼近,对上面的联合概率分布,进行一个改进:

我们现在假设右侧的每个条件概率分布只与最近的⼀次观测有关,⽽独⽴于其他所有之前的观测,那么我们就得到了⼀阶马尔科夫链(first-order Markov chain)

从定义可知,隐马尔可夫模型作了两个基本假设

(1)齐次马尔科夫性假设:即假设隐藏的马尔柯夫链(隐状态序列)在任意时刻 t 的状态只依赖于前一时刻的状态,与其他时刻的状态及观测无关,也与当前时刻 t 无关:

(2)观测独立性假设:即假设任意时刻的观测只依赖于该时刻的马尔柯夫链的状态(观测与隐状态一一对应),与其他观测及状态无关:

0x3: 隐马尔可夫模型的定义

隐马尔可夫模型是关于时序的概率模型,描述有一个隐藏的马尔柯夫链随机生成不可观测的状态随机序列(隐状态序列),再由各个状态生成一个观测结果而产生观测随机序列(可见状态序列)的过程

隐藏的马尔柯夫链随机生成的状态的序列,称为隐状态序列(hidden state sequence);每个隐状态生成一个观测,而由此产生的观测的随机序列,称为可见观测序列(observation sequence)。序列的每一个位置又可以看作是一个时刻(时序)

隐马尔可夫模型由初始概率分布、状态转移概率分布、以及观测概率分布确定

隐马尔科夫模型的形式定义如下

设Q是所有可能的状态的集合(即状态的类型数):,其中N是可能的状态数

I 是长度为T的状态序列(隐状态序列):

A是状态转义概率矩阵:,其中,是在时刻 t 处于状态 qi 的条件下,在时刻 t + 1 转移到状态 qj 的概率

O是对应的观测序列:,观测序列和状态序列等长,因为观测序列是由状态序列生成的

V是所有可能的观测的集合(即观测的类型数):

B是观测概率矩阵(即生成概率):,其中:是在时刻 t 处于状态 qj 的条件下生成观测 vk 的概率

是初始状态概率向量:,其中,是时刻 t = 1 处于状态 qi 的概率

隐马尔可夫模型由初始状态概率向量、状态转移概率矩阵A和观测概率矩阵B决定。和A决定状态序列;B决定观测序列。因此,隐马尔可夫模型可以用三元符号表示,即:,A,B,称为隐马尔可夫模型的三要素

(1)状态转移概率矩阵A与初始状态概率向量确定了隐藏的马尔柯夫链,生成不可观测的隐状态序列

(2)观测概率矩阵B确定了如何从状态生成观测,与状态序列综合确定了如何产生观测序列(观测序列的生成不仅受观测概率矩阵影响,同时还受状态转移概率矩阵影响)

0x4: 隐马尔可夫模型的3个基本问题

理解隐马尔可夫模型的3个基本问题我认为非常重要,这3个问题是对现实世界实际问题的数学抽象,我们在利用隐马尔可夫模型解决实际问题的时候经常需要仔细思考这3个基本问题,选择合适的问题去套用

(1)概率计算问题

给定模型和观测序列,计算在模型下观测序列 O 出现的概率

(2)学习问题

已知观测序列,估计模型的参数,使得在该模型下观测序列概率最大,即用极大似然估计的方法估计参数

(3)预测问题/解码问题(decoding)

 已知模型和观测序列,求对给定观测序列条件概率最大的隐状态序列。即给定观测序列,求最有可能的对应的隐状态序列,这常见于语言翻译,语言解码翻译等问题。值得注意的是,HMM的隐状态序列的最大似然估计和传统的统计概率最大似然估计不同在于HMM中状态之间还要考虑前序状态的依赖,即当前的状态和前面N(N阶马尔科夫模型)个状态还存在一定的转移概率关系,这使得HMM的最大似然估计不能简答的进行计数统计分析,而需要利用维特比算法这类递推算法来完成序列最大似然估计

Relevant Link:

https://www.zhihu.com/question/20962240
http://www.cnblogs.com/skyme/p/4651331.html
http://blog.csdn.net/bi_mang/article/details/52289087
https://yanyiwu.com/work/2014/04/07/hmm-segment-xiangjie.html
https://www.zhihu.com/question/20962240
https://www.zhihu.com/question/52778636
https://www.zhihu.com/question/37391215
https://www.zhihu.com/question/20551866
https://www.zhihu.com/question/28311766
https://www.zhihu.com/question/28311766
https://www.zhihu.com/question/22181185

 

3. 套用马尔科夫模型三要素解决标注问题

在运用马尔科夫模型解决实际的问题的时候,我认为最重要的是正确理解我们要解决问题的本质,进行有效的抽象,将问题的各个维度套用到马尔科夫模型的三要素上。这相当于数学建模过程,完成建模之后就可以利用马尔科夫的学习和预测过程来帮助我们解决问题

0x1: 盒子和球模型

假设有4个盒子,每个盒子里都装有红白两种颜色的球,盒子里的红白球数由下表给出

按照如下的方法抽球,产生一个由球的颜色组成的观测序列:

1. 开始,以4个盒子里以等概率随机选取1个盒子,从这个盒子里随机抽出1个球,记录其颜色后,放回;
2. 然后,从当前盒子随机转移到下一个盒子,规则是
  1)如果当前盒子是盒子1,那么下一个盒子一定是2
  2)如果当前盒子是2或3,那么分别以概率0.4和0.6转移到左边或右边的盒子
  3)如果当前盒子是盒子4,那么各以0.5的概率停留在盒子4或者转移到盒子3
3. 确定转移的盒子后,再从这个盒子里随机抽出1个球,记录其颜色,放回;
4. 如此重复下去,重复进行5次,得到一个球的颜色的观测序列: O = {红,红,白,白,红}
5. 在这个过程中,观察者只能观测到球的颜色的序列,观测不到球是从哪个盒子取出的,即观测不到盒子的序列

这是一个典型的马尔科夫模型场景,根据所给条件,可以明确状态集合、观测集合、序列长度以及模型的三要素

盒子对应状态,状态的集合是:

球的颜色对应观测,观测的集合是:

状态序列和观测序列长度T = 3

初始概率分布为:

状态转移概率分布为:

观测概率分布为:

观测集合V为:O = {红,红,白}

Relevant Link: 

 

4. 概率计算算法 - 解决马尔科夫模型中的概率计算问题

从这章开始,我们将逐个讨论在马尔科夫模型中的3个基本问题的求解中,都有哪些理论和可行的计算方法

概率计算算法的目标是给定模型和观测序列,计算在模型下观测序列 O 出现的概率

0x1: 直接计算法

给定模型和观测序列,计算观测序列 O 出现的概率,最直接的方法是按照概率公式直接计算,通过枚举所有可能的长度为 T 的状态序列,并求各个状态序列 I 与观测序列的联合概率,然后对所有可能的状态序列求和,得到

状态序列的概率是:

对固定的状态序列,观测序列的概率是

O 和 I 同时出现的联合概率为:

然后,对所有可能的状态序列 I 求和,得到观测序列 O 的概率,即

但是,该公式的计算量很大,是阶的,这种算法在实际应用中不可行,取而代之的是前向-后向算法(forward-backward algorithm)

0x2: 前向算法

首先定义前向概率,给定隐马尔可夫模型,定义到时刻 t 部分观测序列为,且当前时刻状态为的概率为前向概率,记作:

可以递推地求得所有时刻的前向概率及观测序列概率。算法过程如下

(1)初值:,是初始时刻的状态和观测的联合概率

 

(2)递推:对,有:,乘积就是时刻 t 观测到并在时刻 t 处于状态而在时刻 t + 1 到达状态 的联合概率。对这个乘积在时刻 t 的所有可能的 N 个状态求累加和,其结果就是到时刻 t 观测为并在时刻 t + 1处于状态的联合概率

(3)终止:

可以看到,前向算法实际是基于“状态序列的路径结构”递推计算。前向算法高效的关键是其局部计算前向概率,然后利用路径结构将前向概率“递推”到全局。得到。具体地,在各个时刻,计算的N个值(i = 1,2,...,N),而且每个的计算都要利用前一时刻N的。减少计算量的原因在于每一次计算直接引用前一时刻的计算结果,避免重复计算。这样,利用前向概率计算的计算量是阶,而不是直接计算的

前向算法我理解的本质是把中间计算结果缓存的直接概率计算法

考虑盒子和球模型

状态的集合是:

球的颜色对应观测,观测的集合是:

状态序列和观测序列长度T = 3

初始概率分布为:

状态转移概率分布为:

观测概率分布为:

观测集合V为:O = {红,白,红}

(1)计算初值:

a1(1) = π1 * b1(o1)= 0.2 * 0.5 = 0.1

a1(2) = π2 * b2(o1)= 0.4 * 0.4 = 0.16

a1(3) = π3 * b3(o1)= 0.4 * 0.7 = 0.28

(2)递推计算 t = 2

= (a1(1) * a11 + a1(2) * a21 + a1(3) * a31) * b1(o2) = (0.1 * 0.5 + 0.16 * 0.3 + 0.28 * 0.2)* 0.5 = 0.077

= (a1(1) * a12 + a1(2) * a22 + a1(3) * a32) * b2(o2) = (0.1 * 0.2 + 0.16 * 0.5 + 0.28 * 0.3)* 0.6 = 0.184 * 0.6 = 0.1104

= (a1(1) * a13 + a1(2) * a23 + a1(3) * a33) * b3(o2) = (0.1 * 0.3 + 0.16 * 0.2 + 0.28 * 0.5)* 0.3 = 0.202 * 0.3 = 0.0606

(3)递推计算 t = 3

= (a2(1) * a11 + a2(2) * a21 + a2(3) * a31) * b1(o3) = (0.077 * 0.5 + 0.1104 * 0.3 + 0.0606* 0.2)* 0.5 = 0.04187

= (a2(1) * a12 + a2(2) * a22 + a2(3) * a32) * b1(o3) = (0.077 * 0.2 + 0.1104 * 0.5 + 0.0606* 0.3)* 0.4 = 0.035512

= (a2(1) * a13 + a2(2) * a23 + a2(3) * a33) * b1(o3) = (0.077 * 0.3 + 0.1104 * 0.2 + 0.0606* 0.5)* 0.7 = 0.052836

可以看到,t = 3的时刻复用了 t = 2的结果

(4)终止

= a3(1) + a3(2)+ a3(3) = 0.04187 + 0.035512 + 0.052836 = 0.130218

最后一步终止只要对对T-1时刻的结果进行累加即可

0x3: 后向算法

先来定义后向概率,给定隐马尔可夫模型,定义在时刻 t 状态为的条件下,从 t + 1 到 T 的部分观测序列为的概率为后向概率,记作:,可以用递推的方法求得后向概率及观测序列概率。算法流程如下

(1)初始化后向概率:,对最终时刻的所有状态规定

(2)后向概率的递推公式:,为了计算在时刻 t 状态为条件下时刻 t + 1之后的观测序列为的后向概率,只需考虑在时刻 t + 1所有可能的N个状态的转移概率(即项),以及在此状态下的观测的观测概率(即项),然后考虑状态之后的观测序列的后向概率(即项)(递推下去)

 (3)最终结果:,可以看到后向概率的最终结果表达式就是前向概率的初始化表达式

我个人觉得后向算法就是前向算法的递归倒推的改写,很像C语言中的for循环和递归的关系,核心原理都是逐步递推

前向概率和后向概率可以统计起来,利用前向概率和后向概率的定义可以将观测序列概率统一写成:

0x4: 基于前向/后向概率推导出的一些新的概率与期望值的计算

利用前向概率和后向概率,可以得到关于单个状态和两个状态概率的计算公式

1. 计算特定隐状态的概率

给定模型和观测,在时刻 t 处于状态的概率,即:,可以通过前向后向概率计算

实际上:,由前向概率和后向概率的定义可知:

于是得到:

2. 计算特定时刻及后序时刻出现指定隐状态序列的概率

给定模型和观测,在时刻 t 处于状态且在时刻 t + 1处于状态的概率,即:

可以通过前向后向概率计算:

同时,

综上得:

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5. 学习算法 - 解决马尔柯夫模型中的学习问题(即最大似然估计模型参数)

隐马尔科夫模型的,根据训练数据是包括观测序列和对应的状态序列;还是只有观测序列,可以分为

1. 监督学习:训练数据是包括观测序列和对应的状态序列
2. 非监督学习:训练数据只有观测序列

0x1: 监督学习方法

假设已给训练数据包含 S 个长度相同的观测序列和对应的状态序列,那么可以利用极大似然估计法来估计隐马尔科夫模型的参数,具体流程如下

1. 转移概率的估计

设样本中时刻 t 处于状态 i,时刻 t + 1 转移到状态 j 的频数为,那么状态转移概率的最大似然估计公式是:

2. 观测概率的估计

设样本中状态为 j 并观测为 k 的频数是,那么状态为 j 观测为 k 的概率的最大似然估计是:

3. 初始状态概率的估计为 S 个样本中初始状态为的频率

可以看到,最大似然估计本质上就是最简单的统计法,但是在实际中由于监督学习需要使用已标注训练数据,而人工标注训练数据往往代价很高,这时候就需要使用非监督学习,即包含隐变量的训练数据

0x2: 监督学习 - Baum-Welch算法(EM算法)

假设给定训练数据只包含S个长度为T的观测序列而没有对应的状态序列(即包含隐变量),目标是学习隐马尔可夫模型的参数。套用EM算法的框架,我们将观测序列数据看作观测数据O,状态序列数据看作不可观测的隐数据 I,那么隐马尔可夫模型实际上是一个含有隐变量的概率模型:,它的参数学习可以由EM算法实现

1. 确定完全数据的对数似然函数

所有观测数据写成,所有隐数据写成,完全数据是,完全数据的对数似然函数是:

2. EM算法的 E 步:求 Q 函数

,其中,是隐马尔可夫模型参数的本轮次当前估计值,是要极大化的隐马尔可夫模型参数

又因为,所以 Q 函数可以写成:,式中所有求和都是对所有训练数据的序列总长度 T 进行的

3. EM算法的 M 步:极大化本轮次 Q 函数求模型参数A,B,π

由于要极大化的参数在 E 步的式子中单独出现在3个项中,所有只需对各项分别逐一极大化

(1)第一项

注意到满足约束条件(初始概率分布累加和为1),利用拉格朗日乘子法,写出拉格朗日函数:

对其求偏导数并令其结果为0:,得:

左右两边同时对 i 求和得到:,带入朗格朗日求导为零公式得:。可以看到,初始概率的最大似然估计就是传统统计法

(2)第二项:

同初始概率分布一样,转移概率同样也满足累加和为1的约束条件:,通过拉格朗日乘子法可以求出:

(3)第三项:

同样用拉格朗日乘子法,约束条件是:,求得:

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6. 预测算法 - 求隐状态的最大似然问题(常见于解码问题场景)

我们在本章节讨论隐马尔可夫模型预测的两种算法:近似算法、维特比算法(viterbi algorithm)

0x1: 近似算法

近似算法的思想是,在每个时刻 t 选择在该时刻最可能出现的状态,从而得到一个状态序列,将它作为预测从的结果。给定隐马尔可夫模型和观测序列 O,在时刻 t 处于状态的概率是:,在每一时刻 t 最有可能的状态是:,从而得到状态序列

近似算法的优点是计算简单,其缺点是不能保证预测的状态序列整体是最优可能的状态序列(即不能保证全局最优),因为预测的状态序列可能有实际不发生的部分。同时,根据近似算法得到的状态序列中有可能存在转移概率为0的相邻状态(对某些i,j,aij = 0时)

0x2: 维特比算法

维特比算法实际是用动态规划解隐马尔可夫模型预测问题,即用动态规划(dynamic programming)求概率最大路径(最优路径)。这时一条路径对应着一个状态序列

根据动态规划原理,最优路径具有这样的特征:如果最优路径在时刻 t 通过,那么这一路径从结点到终点的部分路径,对于从到终点所有可能的部分路径集合来说,必须是最优的(即每步都要求局部最优)

依据这一原理,我们只需从时刻 t = 1开始,递推地计算在时刻 t,状态为 i 的各条部分路径的最大概率,在每一个 t = T计算最大概率对应的路径。最终得到最优路径序列,这就是维特比算法。

为了明确定义维特比算法,我们首先导入两个变量(最大概率)和(最大概率对应的状态),定义在时刻 t 状态为 i 的所有单个单个路径中概率最大值为:,由定于可得变量的递推公示:

定义在时刻 t 状态为 i 的所有单个路径中概率最大的路径的第 t - 1个结点为:

维特比算法的流程如下:

(1)初始化

(2)递推:对t = 2,3,...,T

(3)终止

 

(4)最优路径回溯:对t = T - 1,T - 2,....,1

得到最优路径:

0x3: 通过一个例子来说明维特比算法

还是盒子球的场景,模型,已知观测序列,试求最优状态序列,即最优路径

我们应用维特比算法来解决这个问题

(1)初始化

在 t = 1时,对每一个状态 i,i = 1,2,3,求状态为 i 观测为红的概率,记此概率为,则

代入实际数据得:

(2)递推 t = 2

在时刻 t = 2,对每个状态i,i = 1,2,3,求在 t = 1时状态为 j 观测为红并在 t = 2时状态为 i 观测为白的路径的最大概率,记此最大概率为,则

同时,对每个状态i,i = 1,2,3,记录概率最大路径的前一个状态 j:

计算:

考虑上一轮所有可能状态,本轮的出现状态1的最大概率: = max{0.1 * 0.5,0.16 * 0.3,0.28 * 0.2}* 0.5 = 0.028。

考虑上一轮所有可能状态,本轮的出现状态2的最大概率: = max{0.1 * 0.2,0.16 * 0.5,0.28 * 0.3}* 0.6 = 0.0504。

考虑上一轮所有可能状态,本轮的出现状态3的最大概率: = max{0.1 * 0.3,0.16 * 0.2,0.28 * 0.5}* 0.7 = 0.098。

(3)递推 t = 3

 同样,在t = 3步,还是逐步引入t = 2步的所有概率最大概率,并结合t = 3步的转移概率和观测概率

 

计算:

(4)终止

表示最优路径的概率,则,该结果是逐步递推出来的

最优路径的终点是

(5)由最优路径的终点,逆向逆推最优路径序列

本轮最大概率的计算公式中,包含了上一轮次最大概率状态的结果

于是得到最优路径序列,即最优状态序列

这里请各位读者仔细思考马尔科夫递推的思想:

每一步仅仅需要考虑上一步的所有可能,这包含了一个思想,虽然上一步得到了局部最优但不一定就是全局最优,所以我们还不能完全“信任”上一步的argmax结果
当前本轮递推要把上一轮的所有可能都参与到本轮的计算,通过本轮的最大概率,反推出上一步最可能的状态。所以t+1步才确定t步的最大似然状态,每一轮的最大似然状态都要到下一轮才能得到 但是要注意的,回溯但是也仅限于 t
- 1 上一步了,更早的序列马尔科夫不会去回溯

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7. 马尔科夫模型在实际场景中的应用

马尔柯夫链模型在实际场景中的应用,本质上就是马尔科夫三个基本问题的实例化。我们使用python的hmm库hmmlearn来完成编码。

hmmlearn实现了三种HMM模型类,按照观测状态是连续状态还是离散状态,可以分为两类

(1)GaussianHMM:GMMHMM是连续观测状态的HMM模型

对于连续观测状态的HMM模型,GaussianHMM类假设观测状态符合高斯分布,在GaussianHMM类中,"startprob_"参数对应我们的隐藏状态初始分布π;"transmat_"对应我们的状态转移矩阵A;比较特殊的是观测状态概率的表示方法,此时由于观测状态是连续值,我们无法像MultinomialHMM一样直接给出矩阵B。而是采用给出各个隐藏状态对应的观测状态高斯分布

的概率密度函数的参数。如果观测序列是一维的,则观测状态的概率密度函数是一维的普通高斯分布。如果观测序列是N维的,则隐藏状态对应的观测状态的概率密度函数是N维高斯分布。

高斯分布的概率密度函数参数可以用μ表示高斯分布的期望向量,Σ表示高斯分布的协方差矩阵。在GaussianHMM类中,“means”用来表示各个隐藏状态对应的高斯分布期望向量μ形成的矩阵,而“covars”用来表示各个隐藏状态对应的高斯分布协方差矩阵Σ形成的三维张量。

(2)MultinomialHMM:MultinomialHMM是离散观测状态的模型,它常被用于时序预测分析的场景中

对于MultinomialHMM的模型,使用比较简单,"startprob_"参数对应我们的隐藏状态初始分布π;"transmat_"对应我们的状态转移矩阵A;"emissionprob_"对应我们的观测状态概率矩阵B 

0x1:根据观测数据学习马尔柯夫模型参数

在根据一个打标数据集进行模型学习时需要用到,即训练模型

0x2:根据观测数据推测最大似然的隐状态序列(序列解码问题)

值得注意的是,在进行实际问题解决的时候,很重要的一点是抽象能力,就是要想清楚哪个数据对应的是观测数据,哪个数据又是对应的隐状态序列

例如下面的根据观测对象的日常行为,推测当前的天气的具体问题:我们对一个观测对象进行6天的持续观测,该对象每天的行为有3种:walk:散步;shop:购物;clean:打扫卫生,同时每天的天气有2种状态:Rainy:下雨;Sunny:晴天,我们已知天气的转换概率,以及在不同天气下观测对象做不同行为的概率分布

最后我们的目标是根据一系列的对观测对象在这6天的行为观测结果:[0, 2, 1, 1, 0, 2],即[walk,clean,shop,shop,walk,clean],反推出这6天最可能的每天的天气

# -*- coding:utf-8 -*-

from __future__ import division
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from hmmlearn import hmm


states = ["Rainy", "Sunny"]   ## 隐藏状态类型
n_states = len(states)        ## 隐藏状态数量

observations = ["walk", "shop", "clean"]  ## 可观察的状态类型
n_observations = len(observations)        ## 可观察序列的状态数量

start_probability = np.array([0.6, 0.4])  ## 初始状态概率

## 状态转移概率矩阵
transition_probability = np.array([
  [0.7, 0.3],
  [0.4, 0.6]
])

## 观测生成概率矩阵
emission_probability = np.array([
  [0.1, 0.4, 0.5],
  [0.6, 0.3, 0.1]
])

# 构建了一个MultinomialHMM模型,这模型包括开始的转移概率,隐含间的转移矩阵A(transmat),隐含层到可视层的混淆矩阵emissionprob,下面是参数初始化
model = hmm.MultinomialHMM(n_components=n_states)
model.startprob_ = start_probability
model.transmat_ = transition_probability
model.emissionprob_ = emission_probability

# predict a sequence of hidden states based on visible states
bob_says = np.array([[0, 2, 1, 1, 0, 2]]).T  ##预测时的可见序列
print bob_says.shape
print bob_says
logprob, alice_hears = model.decode(bob_says, algorithm="viterbi")
print logprob ##该参数反映模型拟合的好坏

## 最后输出decode解码结果
print "Bob says:", ", ".join(map(lambda x: observations[x[0]], bob_says))
print "Alice hears:", ", ".join(map(lambda x: states[x], alice_hears))

补充一句,如果是在语音识别问题中,观测数据就是音频流,需要估计的隐状态序列就是对应的发音文字

Relevant Link:

http://www.cs.ubc.ca/~murphyk/Bayes/rabiner.pdf
http://www.cnblogs.com/pinard/p/7001397.html
http://blog.csdn.net/u014365862/article/details/50412978
http://blog.csdn.net/yywan1314520/article/details/50533850
http://hmmlearn.readthedocs.io/en/latest/api.html
http://blog.csdn.net/wowotuo/article/details/40783357

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posted @ 2017-10-14 22:41 骑着蜗牛逛世界 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏