二项式定理学习笔记（详解）

二项式定理好难啊...学了好久 \(QWQ\)

这篇博客写的有点杂，主要讲证明，仅供娱乐？

二项式定理的常见形式

首先我们看看这个常见的令人头疼的式子：

\[(x+1)^n=\sum_{i=0}^{n} C(n,i) ~ x^i \]

这个式子为什么是对的呢？

我们考虑将左边的式子写成完全形式：

\[(x+1)(x+1)···(x+1) \]

那么我们发现其实可以每次从这 \(n\) 个 \((x+1)\) 中选出一个 \(x\) 或者一个 \(1\) ，然后将 n 个选出来的数字相乘累加进 \(ANS\)

那么我们考虑从 \(n\) 个 $$(x+1)$$ 中选出 \(i\) 个 \(x\) 的情况有多少种呢

这其实就是组合数中的 \(C(n,i)\)，于是乎我们发现原来的式子是正确的

然后讲讲二项式定理的一个应用：

我们考虑从 \(n\) 个物品中选出选出 \(t\) 个物品，那么有多少种选择的方案呢？

既然是二项式定理的应用，那么怎么才能将二项式定理套进去呢？

先别多想，我们考虑用 \((x^0+x^1)\) 表示某样物品选或者不选（这里 \(0\) 次项就是不选，而 \(1\) 次项则是选），这两者相互独立

那么我们可以根据所有物品两两独立将它们的选择方案乘起来，就是 \((x^0+x^1)^n\)

考虑为什么可以这么乘？不用想那么多感性理解即可，不理解的话看到下面也能懂的

那么我们考虑一下之前的问题：选出 \(t\) 个物品

那么这里我们将 \(n\) 个 \((x^0+x^1)\) 相乘之后 \(x^t\) 的系数其实就是方案数了，因为在这里 \(x^t\) 只可能来自 \(t\) 个不同的 \((x^0+x^1)\)中的 \(x^1\)， 也就是说它的含义就是我们在 \(n\) 个\((x^0+x^1)\)中选择 \(t\) 个 \(x^1\) 然后每次选出一种方案就令 \(x^t\) 前的系数加一

然后我们把 \(x^0\) 等价成 \(1\)，也就是二项式定理的常见形式了

小插曲

我们定义组合数 \(C(n,m)\) 为 \(\frac{n(n-1)(n-2)···(n-m+1)}{m!}\) ，这样定义对于下面的证明更有帮助

然后我们再考虑将原式的 求和函数的 终止条件换一下：

\[(x+1)^n=\sum_{i=0}^{\infty} C(n,i) x^i \]

这时候我们可以知道这个式子和之前是等价的，因为 \(i\) 大于 \(n\) 的时候 \(C(n,i)\) 是等于 \(0\) 的

至于为什么要这样表示看到下面你就知道了

指数为负的二项式定理

然后我们考虑一下 \((x+1)\) 的指数推广到 负数 的情况

这个时候其实也有：

\[(x+1)^{-n}=\sum_{i=0}^{\infty} C(-n,i) ~ x^i=\sum_{i=0}^{\infty} (-1)^i~C(n+i-1,i)~x^i \]

这时候你可能会非常的惊讶... 组合数还能有负的？！

遗憾的告诉你（什么鬼），组合数可以有负的，因为这里的组合数使按之前小插曲里面的定义来的

那么我们考虑怎样转移到最右边的式子：

\[C(-n,m)=\frac{(-n)(-n-1)(-n-2)···(-n-m+1)}{m!} \]

然后我们吧上面的式子里面所有项取反，也就是将他们的符号提取出来，就成了：

\[C(-n,m)=(-1)^{(-n)-(-n-m+1)+1}\frac{n(n+1)(n+2)···(n+m-1)}{m!} \]

\[= (-1)^{m}\frac{n(n+1)(n+2)···(n+m-1)}{m!} \]

\[= (-1)^{m} C(n+m-1,m) \]

就是这样（或许你已经看到过上面的式子了）

把上面的式子再写一遍就是： \((x+1)^{-n}=\sum_{i=0}^{\infty}(-1)^i C_{n+i-1}^i~x^i\)

当加号变为减号

（在这里我们略去 n 为负数的情况）

首先的话，我们考虑将上面式子中的 \(x\) 取负，那么原式就变成了：

\[(-x+1)^n=\sum_{i=0}^{\infty} (-1)^i~ C(n,i)~x^i \]

这样写不好看，换种写法

\[(1-x)^n=\sum_{i=0}^{\infty} (-1)^i~ C(n,i)~x^i \]

这个式子...（相信大家可能看到过的吧）

这里的话后面的式子其实就是把 \(x\) 的负号提了出来，没什么特别的

但是你有没有感觉这个式子有点眼熟？

没错啊，这和 指数为负的二项式定理 中长得有点像的，组合数前面都带着个正负号

于是我们考虑一下吧这里的 n 也取负呢？

那么原式就变成了：

\[(1-x)^{-n} =\sum_{i=0}^{\infty} C(n+i-1,i)~x^i \]

也就是说两个正负号抵消掉了...\(QWQ\)

这个式子其实是非常有用的，它会在你学生成函数的时候派上大用场

（至于生成函数嘛，登博主学完之后还有时间的话可能就会写篇博客介绍一下）

二项式定理的一般形式

其实上面讲了这么多都是二项式定理的特殊形式（但其实都是比较常见+实用的）

于是下面说说它的一般形式：

\[(x+y)^n=\sum_{i=0}^{n} C(n,i) a^i·b^{n-i} \]

这个东西可以理解为有 n 堆物品，每堆里面有 x 和 y ，每堆只能选一个，要求选择的所有方案之和

具体证明就毋须多言了，上面已经证了一大堆了

关于广义二项式定理

其实广义二项式定理就是上面的那个式子，我们只要将指数 n 的定义域改成实数就好了

也就是说，广义二项式定理对于实数也成立，也就是：

\[(x+y)^α=\sum_{i=0}^{α} C(α,i) a^i·b^{α-i} \]

而关于 \(C(α,i)\) 的值通过小插曲中组合数的定义代就好了

论二项式定理与组合数的关♂系

我们看到上面的二项式定理中都出现了组合数，那么他们两者之间有什么内在联系呢？或者说我们可以通过二项式定理得出组合数的一些性质么？

答案当然是肯定的啦！

第一种情况

我们考虑吧二项式定理的公式中的 \(x\) \(y\) 都变成 \(1\)，那么我们会发现下面这个式子：

\[(1+1)^n=\sum_{i=0}^{n} C_{n}^{i} \]

这能说明什么呢？很明显啊！

我们考虑前面其实就是 2 的 n 次幂，后面就是 n 个物品里面选出 1~n 个的方案数之和，那么由二项式定理可以得知他们两者是相等的

从另一个角度出发， n 个物品里面任意选择的方案数等于 \(\sum_{i=0}^nC_{n}^i\)，同时也等于 \(2^n\)

前面的式子不需要多解释，考虑后面的式子就是每个物品有选或者不选两个选择，那么总方案数等于所有物品选择的方案数的乘积，这样一来两者的相等关系也就非常明显了

那么我们再考虑一下杨辉三角，杨辉三角的第 i 行 第 j 列对应着 \(C_i^j\)

上面的相等关系也就说明了杨辉三角的第 i 行所有数之和等于 \(2^i\)

第二种情况

我们再考虑把 x 变成 1， y 变成 0，这两者会产生什么样的反应呢？我们看下面的式子：

\[(1-1)^n=\sum_{i=0}^{n} (-1)^i~C_{n}^{i} \]

（注意，不要认为等式左边恒等于 0 ！ 我们默认 \(x^0\) 为 1 ，对于任意实数！ 同时这里也可以倒过来证明 0 的 0 次幂为 1，算是吧？）

那么我们发现除去 \(n = 0\) 的情况，\(C_n^i\) 的偶数项之和 减去 \(C_n^i\) 的奇数项之和 等于 0 ！

换句话说， \(C_n^i\) 的偶数项之和 等于 \(C_n^i\) 的奇数项之和 ！

这里不知道如何解释了，只能说对于 n 为奇数的情况考虑组合数的对称性（即 \(C_n^i=C_n^{n-i}\)）

然后对于 n 为偶数的情况考虑 掐头去尾，每个偶数项都对应上一行的两个相邻元素之和，不相交并且取遍了上一行的所有元素，而奇数项同理，于是两者相等

那么这里上一张图你肯定就懂了(自己感受一下)

考虑一下杨辉三角，也就是说杨辉三角每一行的 偶数列对应的项之和 等于 **奇数列对应的项之和 **(由上图也可以看出来)

但是别忘了考虑特殊情况，我们刚刚说过 \(n=0\) 除外

但其实考虑 n=0 的情况也简单，就是当 \(n=0\) 时组合数只有一项且为 1 ，然后我们把原来的式子倒过来表达：

\[\sum_{i=0}^{n} (-1)^i~C_{n}^{i}=[n==0]=\epsilon(n) \]

其实 \(\epsilon\) 就是单位元函数

总结

二项式定理很有趣，但是看着上面的内容貌似没什么用，但等你学到深处就会发现经常会看到它的身影，到那时别忘了再翻开这篇博客，或许你会有新的收获~

Bye~Bye~