bzoj 2655: calc

2655: calc

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Description

　　一个序列a1,...,an是合法的，当且仅当：
　　长度为给定的n。
　　a1,...,an都是[1,A]中的整数。
　　a1,...,an互不相等。
　　一个序列的值定义为它里面所有数的乘积，即a1a2...an。
　　求所有不同合法序列的值的和。
　　两个序列不同当且仅当他们任意一位不一样。
　　输出答案对一个数mod取余的结果。

 

Input

 

　　一行3个数，A，n，mod。意义为上面所说的。

 

Output

　　一行结果。

 

Sample Input

9 7 10007

Sample Output

3611

HINT

 

数据规模和约定

　　0:A<=10,n<=10。

　　1..3:A<=1000,n<=20.

　　4..9:A<=10^9,n<=20

　　10..19:A<=10^9,n<=500。

　　全部:mod<=10^9,并且mod为素数，mod>A>n+1

 

发现可以用容斥乱搞，设f[i]为已经选了i个数的互不相等的权值和，S(n,k)为1-n的k次前缀和。

那么 f[i]=∑ f(i-j-1) * S(A,j+1) * (-1)^j * P(i-1,j)       ，其中0<=j<i

相当于把下一个选的数作为基准，+一个都不同的权值和-有一个和下一个相同的权值和+有两个和下一个相同的权值和.....

接下来就是求S(n,k)了，这个玩意好像叫伯努利数，但并不是很难推。

显然的是：(n+1)^k-n^k = C(k,1)*n^(k-1) +C(k,2)*n^(k-2)+....+C(k,k)*n^0

把n从1带到n，等号左边和右边都加起来：

(n+1)^k-1=C(k,1)*S(n,k-1)+C(k,2)*S(n,k-2)+....+C(k,k)*S(n,0)

移项之后就可以通过S(n,k-1),S(n,k-2).....S(n,0)来求S(n,k)了  (需要求一下逆元)

 

(然而好像还有复杂度线性的求法？？？脑子炸了回来再学吧hhhh)

(不过跑的还蛮快的)

/**************************************************************
    Problem: 2655
    User: JYYHH
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:204 ms
    Memory:3300 kb
****************************************************************/
 
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define maxn 505
using namespace std;
ll ni[maxn],n,A,p;
ll C[maxn][maxn],jc[maxn];
ll S[maxn],f[maxn];
 
inline void init(const ll ha){
    jc[0]=C[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=n+1;i++){
        jc[i]=jc[i-1]*(ll)i%ha;
        C[i][0]=1;
        for(int j=1;j<=i;j++){
            C[i][j]=C[i-1][j-1]+C[i-1][j];
            if(C[i][j]>=ha) C[i][j]-=ha;
        }
    }
     
    ni[1]=1;
    for(int i=2;i<=n+1;i++) ni[i]=-ni[ha%i]*(ha/i)%ha+ha;
     
    S[0]=A; 
    ll now=(A+1)%ha,cnt;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        now=now*(A+1)%ha;
        S[i]=1-now+ha;
        for(int j=i-1;j>=0;j--){
            S[i]+=C[i+1][i-j+1]*S[j];
            if(S[i]>=ha) S[i]-=S[i]/ha*ha;
        }
        S[i]=-S[i];
        if(S[i]<0) S[i]+=ha;
        S[i]=S[i]*ni[i+1]%ha;
    }
     
//  for(int i=0;i<=n;i++) cout<<S[i]<<endl;
}
 
inline void dp(const ll ha){
    f[0]=1; ll now,val;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=0,p=1;j<i;j++,p*=-1){
            val=f[i-j-1]*S[j+1];
            if(val>=ha) val-=val/ha*ha;
            val*=p;
            if(val<0) val+=ha;
             
            now=C[i-1][j]*jc[j];
            if(now>=ha) now-=now/ha*ha;
             
            f[i]+=now*val;
            if(f[i]>=ha) f[i]-=f[i]/ha*ha;
        }
}
 
int main(){
    scanf("%lld%lld%lld",&A,&n,&p);
    const ll ha=p;
    init(ha);
    dp(ha);
    printf("%lld\n",f[n]);
    return 0;
}