[主席树]HDOJ2665 && POJ2104 && POJ2761

主席树真是神奇的物种!

Orz一篇资料

题意:给n、m 

     下面有n个数 (编号1到n)

   有m个询问,询问的是上面的数的编号在[l,r]之间第k小的数 

 

n、m的范围都是$10^5$

 

是主席树的入门题

借此来学习一下主席树

 

主席数利用函数式线段树来维护数列,一般用来解决区间第k大问题

空间时间的复杂度小于树套树(常数小)

划分树也可以解决区间第k大问题,但划分树不支持修改,主席树可以(用树状数组维护)

(这三道入门题都是无修改的)

 

 

 

我们先来YY一下这种求区间第k(大)小的题目···

最容易想到的做法就是对于每个询问,对[l, r]区间排个序,输出第k小

     这样的复杂度是O($m\times nlogn$)

大家都很容易想到排序,但是对于每个询问每个区间排序的代价太大了...

再想想,让我们加入一些线段树的思想,

要求第k小,也就是与个数相关,那么我们可以 以[l,r]区间内的数的个数来建立一棵线段树

结点的值是数的个数,当我们要找第k小的数时,若左子树大于k,那么很显然第k小的数在左子树中;若左子树小于k,那么第k小的数在右子树中

建树的复杂度是O(nlogN),查询的复杂度是O(logN)      (这里的N是不相同数的数量)

若我们仍对每个查询建树,那么复杂度丝毫没有降低(反而提高了),那有没有什么办法可以不要每次查询都建树呢?

(让我们联想一下前缀和) 假设我们知道[1, l-1]之间有多少个数比第k小的数小,那么我们只要减去这些数之后在[1, r]区间内第k小的数即是[l, r]区间内的第k小数

更确切的说,我们要求[l, r]区间内的第k小数  可以 用以[1, r]建立的线段树去减去以[1, l-1] 建立的线段树

这样能够减的条件是这两棵树必须是同构的。

若是不太明白, 我们来举个例子:

如有序列  1 2 5 1 3 2 2 5 1 2

我们要求 [5,10]第5小的数

(数列中不存在4、6、7、8 但根据原理就都写出来了,为方便理解,去掉了hash的步骤,实际的代码中其实只要一棵4个叶子节点的树即可)

(红色的为个数)

我们建立的[1, l-1] (也就是[1, 4])之间的树为

[1, r]也就是[1, 10]的树为

两树相减得到

我们来找第5小的数:

发现左子树为5  所以第5小的数在左边, 再往下(左4右1) 发现左边小于5了 ,所以第5小的数在右边 所以第5小的数就是3了

 

同样的,我们只要建立[1, i] (i是1到n之间的所有值)的所有树,每当询问[l, r]的时候,只要用[1, r]的树减去[1, l-1]的树,再找第k小就好啦

我们将这n个树看成是建立在一个大的线段树里的,也就是这个线段树的每个节点都是一个线段树( ——这就是主席树)

最初所有的树都是空树,我们并不需要建立n个空树,只要建立一个空树,也就是不必每个节点都建立一个空树

插入元素时,我们不去修改任何的结点,而是返回一个新的树( ——这就是函数式线段树)

因为每个节点都不会被修改,所以可以不断的重复用,因此插入操作的复杂度为O(logn)

总的复杂度为O((n+m)lognlogN)   (听说 主席树的芭比说 加上垃圾回收, 可以减少一个log~~~ 然而这只是听说)

 

 

你以为这样就结束了吗!!

你没有发现这样空间大到爆炸吗!!!

你在每个节点都建了一个线!段!树!这不MLE才有鬼呢!!!

那怎么办呢?

$T_i$表示一棵[1, i]区间的线段树

那么$T_i$与$T_{i-1}$的区别就只有当前插入的这个元素$a_i$以及它的父亲以及他父亲的父亲以及他父亲的父亲的父亲...

也就是改变的就只有他和他上面logn个数

所以,我们并不需要建一整棵树,我们只需要 单独建立logn个结点,跟$T_{i-1}$连起来就好了

这样树的空间复杂度(NlogN)

 

 

 以下是代码:

 

 1 #define lson l, m
 2 #define rson m+1, r
 3 const int N=1e5+5;
 4 int L[N<<5], R[N<<5], sum[N<<5];
 5 int tot;
 6 int a[N], T[N], Hash[N];
 7 int build(int l, int r)
 8 {
 9     int rt=(++tot);
10     sum[rt]=0;
11     if(l<r)
12     {
13         int m=(l+r)>>1;
14         L[rt]=build(lson);
15         R[rt]=build(rson);
16     }
17     return rt;
18 }
19 
20 int update(int pre, int l, int r, int x)
21 {
22     int rt=(++tot);
23     L[rt]=L[pre], R[rt]=R[pre], sum[rt]=sum[pre]+1;
24     if(l<r)
25     {
26         int m=(l+r)>>1;
27         if(x<=m)
28             L[rt]=update(L[pre], lson, x);
29         else
30             R[rt]=update(R[pre], rson, x);
31     }
32     return rt;
33 }
34 
35 int query(int u, int v, int l, int r, int k)
36 {
37     if(l>=r)
38         return l;
39     int m=(l+r)>>1;
40     int num=sum[L[v]]-sum[L[u]];
41     if(num>=k)
42         return query(L[u], L[v], lson, k);
43     else
44         return query(R[u], R[v], rson, k-num);
45 }
46 
47 int main()
48 {
49 //    int t;
50 //    scanf("%d", &t);
51 //    while(t--)
52 //    {
53         tot=0;
54         int n, m;
55         scanf("%d%d", &n, &m);
56         for(int i=1; i<=n; i++)
57         {
58             scanf("%d", &a[i]);
59             Hash[i]=a[i];
60         }
61         sort(Hash+1, Hash+n+1);
62         int d=unique(Hash+1, Hash+n+1)-Hash-1;
63         T[0]=build(1, d);
64         for(int i=1; i<=n; i++)
65         {
66             int x=lower_bound(Hash+1, Hash+d+1, a[i])-Hash;
67             T[i]=update(T[i-1], 1, d, x);
68         }
69         while(m--)
70         {
71             int l, r, k;
72             scanf("%d%d%d", &l, &r, &k);
73             int x=query(T[l-1], T[r], 1, d, k);
74             printf("%d\n", Hash[x]);
75         }
76 //    }
77 }
POJ 2104 && HDOJ 2665 && POJ 2761

 

 

能修改的戳这里~~~~~

 

posted @ 2015-07-16 20:36 Empress 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏