【POJ】2409 Let it Bead

题意：用k种颜色对n个珠子构成的环上色，旋转翻转后相同的只算一种，求不等价的着色方案数。

Burnside定理的应用：

当n为奇数时，有n种翻转，每种翻转都是以一个顶点和该顶点对边的中点对称。有k^(n/2+1)*n种。

当n为偶数时，有n种翻转，其中一半是以两个对应顶点，另一半是以两条对边对称。有k^(n/2+1)*n/2+k^(n/2)*n/2种。

考虑旋转：枚举旋转角度360/n*i，(0<i<=n)，也就是一个置换。经过该置换，颜色仍保持不变的着色方案有k^GCD(n,i)种。

 

一个长度为n的环，每i个上同一种颜色，可以上多少种颜色。

假设起点在x，则x，x+i，x+2*i，……，x+k*i，……

假设在第t次，第一次回到起点，则x=(x+t*i)%n => t*i%n=0 => t=LCM(i,n)/i=n*i/GCD(n,i)/i=n/GCD(n,i)。

那么可以上n/t种颜色，即n/(n/GCD(n,i))种，所以旋转的着色方案有k^GCD(n,i)种。

#include<cstdio>
typedef long long LL;
LL Pow(LL a, LL b) {
    LL ans;
    for (ans = 1; b; b >>= 1) {
        if (b & 1)
            ans *= a;
        a *= a;
    }
    return ans;
}
int GCD(int x, int y) {
    return y ? GCD(y, x % y) : x;
}
int main() {
    int n, k, i;
    LL ans;
    while (scanf("%d%d", &k, &n), n || k) {
        if (n & 1)
            ans = Pow(k, n / 2 + 1) * n;
        else
            ans = Pow(k, n / 2 + 1) * (n / 2)
                    + Pow(k, n / 2) * (n / 2);
        for (i = 1; i <= n; i++)
            ans += Pow(k, GCD(n, i));
        ans = printf("%lld\n", ans / (2 * n));
    }
    return 0;
}