【BZOJ3672】[Noi2014]购票 树分治+斜率优化
【BZOJ3672】[Noi2014]购票
Description
Input
第 1 行包含2个非负整数 n,t，分别表示城市的个数和数据类型（其意义将在后面提到）。输入文件的第 2 到 n 行，每行描述一个除SZ之外的城市。其中第 v 行包含 5 个非负整数 f_v,s_v,p_v,q_v,l_v，分别表示城市 v 的父亲城市，它到父亲城市道路的长度，票价的两个参数和距离限制。请注意：输入不包含编号为 1 的SZ市，第 2 行到第 n 行分别描述的是城市 2 到城市 n。
Output
输出包含 n-1 行，每行包含一个整数。其中第 v 行表示从城市 v+1 出发，到达SZ市最少的购票费用。同样请注意：输出不包含编号为 1 的SZ市。
Sample Input
1 2 20 0 3
1 5 10 100 5
2 4 10 10 10
2 9 1 100 10
3 5 20 100 10
4 4 20 0 10
Sample Output
150
70
149
300
150
HINT
对于所有测试数据，保证 0≤pv≤106，0≤qv≤1012，1≤fv<v；保证 0<sv≤lv≤2×1011，且任意城市到SZ市的总路程长度不超过 2×1011。
输入的 t 表示数据类型，0≤t<4，其中：
当 t=0 或 2 时，对输入的所有城市 v，都有 fv=v-1，即所有城市构成一个以SZ市为终点的链；
当 t=0 或 1 时，对输入的所有城市 v，都有 lv=2×1011，即没有移动的距离限制，每个城市都能到达它的所有祖先；
当 t=3 时，数据没有特殊性质。
n=2×10^5
题解：做这种题就怕突然灵光一现，然后自己yy了一发，到对拍1w组的时候才发现自己的做法完全GG，于是只好重写。。。
先分享一下做这道题的思路（前置技能：BZOJ1492货币兑换），如果着急和MM约会，可以直接看最后两段。
——————————————从此处开始略过——————————————
蒟蒻的独白：“不就是将cdq分治换成树分治嘛，有什么难的？这式子也太水了：用dep[i]表示根到i的距离，f[i]表示从i到根的最小购票费用，显然 $f[i]=min(f[j]+(dep[i]-dep[j])*p[i]+q[i]) \rightarrow f[j]=dep[j]*p[i]+f[i]-q[i]-dep[i]*p[i]$ 式子都推出来了，搞呗！当我们以x为分治中心时，可选的i就是x子树中的所有点，可选的j就是根到i路径上的所有点（当然要满足i,j的距离<=li啦~），然后我就先递归分治x的父亲的那部分（在有根树中好像这个不能叫子树吧？），然后将x到根路径上的所有的点都拎出来维护个凸包，枚举x子树中的所有点，然后每个点都在那个凸包上二分一下，就完事啦！WA。 “突然发现，我们在搞凸包的时候，会丢掉很多点，新加入一些深度更小的点，但是由于有距离限制，这些深度更小的点不能更新x子树中的一些点，于是，这就要求我们将x子树中的点也都拎出来，一起搞。 “思路来了，我们将x到根路径上的所有点都用数组A存起来，x子树中的点都用数组B存起来，并按照（dep-l）排好序，那么我们同时扫这两个数组，边维护凸包边二分更新答案，感觉很棒！WA。 “惊讶的发现！x居然是降序的！无可奈何，重新搞。WA。 “1w组对拍都过了？woc用叉积会爆long long！无可奈何，用double。AC。”
————————————————省略结束————————————————
总结一下全过程（翻译一下代码）：
1.当我们以x为分治中心时，先从网上一直延伸直到第一个已经访问过的节点，然后将这个最高点记录下来（一会才用！），然后分治处理x的父亲那部分
2.处理完父亲后，我们将从x到那个最高点的路径上的点都拎出来扔到数组A中，再DFSx的子树中的点，放到B中，并按dep-l从大到小排序。
3.同时扫A和B，进行斜率优化
4.分治处理x的子树
本人的代码不可读性还是比较高的，WA的同学请注意：在我们拎出x子树中的点时，就算访问到之前被标记过（做过分治中心）的点时也要将它放入数组中更新，只是不继续延伸下去。
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#define x(_) (dep[_])
#define y(_) (f[_])
using namespace std;
const int maxn=200010;
typedef long long ll;
int n,m,cnt,maxx,tot,root;
int fa[maxn],siz[maxn],to[maxn],next[maxn],head[maxn],A[maxn],st[maxn],vis[maxn],B[maxn];
ll val[maxn],dep[maxn],len[maxn],p[maxn],q[maxn],lim[maxn],f[maxn];
ll rd()
{
ll ret=0; char gc=getchar();
while(gc<'0'||gc>'9') gc=getchar();
while(gc>='0'&&gc<='9') ret=ret*10+gc-'0',gc=getchar();
return ret;
}
bool cmp(int a,int b)
{
return dep[a]-lim[a]>dep[b]-lim[b];
}
void add(int a,int b)
{
to[cnt]=b,next[cnt]=head[a],head[a]=cnt++;
}
void getr(int x,int fa)
{
siz[x]=1;
int i,mx=0;
for(int i=head[x];i!=-1;i=next[i])
{
if(vis[to[i]]||to[i]==fa) continue;
getr(to[i],x),siz[x]+=siz[to[i]],mx=max(mx,siz[to[i]]);
}
if(maxx>max(mx,tot-siz[x])) maxx=max(mx,tot-siz[x]),root=x;
}
void getB(int x)
{
B[++B[0]]=x;
if(vis[x]) return ;
for(int i=head[x];i!=-1;i=next[i]) getB(to[i]);
}
double getk(int a,int b)
{
if(x(a)==x(b)) return 1e15*(y(a)>y(b)?1.0:-1.0);
else return (double)(y(a)-y(b))/(x(a)-x(b));
}
void calc(int x)
{
if(!m) return ;
int mid,l=1,r=m;
double k=p[x];
while(l<r)
{
mid=l+r>>1;
if(getk(A[mid],A[mid+1])>k) l=mid+1;
else r=mid;
}
f[x]=min(f[x],f[A[l]]+(dep[x]-dep[A[l]])*p[x]+q[x]);
}
void dfs(int x)
{
vis[x]=1;
int i,j,top=x;
while(top!=1&&!vis[fa[top]]) top=fa[top];
if(x!=top) maxx=1<<30,tot=siz[top]-siz[x],getr(top,0),dfs(root);
if(top!=1) top=fa[top];
st[st[0]=1]=x;
while(st[st[0]]!=top) st[st[0]+1]=fa[st[st[0]]],st[0]++;
for(B[0]=0,i=head[x];i!=-1;i=next[i]) getB(to[i]);
sort(B+1,B+B[0]+1,cmp);
for(m=0,i=1,j=1;i<=st[0];i++)
{
for(;j<=B[0]&&dep[st[i]]<dep[B[j]]-lim[B[j]];j++) calc(B[j]);
while(m>1&&getk(A[m-1],A[m])<=getk(A[m],st[i])) m--;
A[++m]=st[i];
}
for(;j<=B[0];j++) calc(B[j]);
for(i=head[x];i!=-1;i=next[i]) if(!vis[to[i]]) maxx=1<<30,tot=siz[to[i]],getr(to[i],x),dfs(root);
}
int main()
{
n=rd(),rd();
int i;
memset(head,-1,sizeof(head));
for(i=2;i<=n;i++)
{
fa[i]=rd(),len[i]=rd(),p[i]=rd(),q[i]=rd(),lim[i]=rd();
add(fa[i],i);
dep[i]=dep[fa[i]]+len[i];
}
memset(f,0x3f,sizeof(f)),f[1]=0;
maxx=1<<30,tot=n,getr(1,0),dfs(root);
for(i=2;i<=n;i++) printf("%lld\n",f[i]);
return 0;
}
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