【Foreign】光 [莫比乌斯反演]

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Description

  天猫有一个长方形盒子,长宽分别为A,B。
  这个长方形盒子的内壁全部是镜面。
  天猫在这个盒子的左下方放了一个激光灯。
  这个灯可以照向盒子内的任意角度。
  现在天猫想要打开这个激光灯,但是他想让光线按照如下规则照射:
    1.这束光必须恰好打到盒子边缘反射D次,并且不能碰到任意一个角落(除了出发点以及结束点)。
    2.这束光必须到达盒子右上角,并且结束反射。
  天猫想要知道,所有合法的光线路线的长度平方和是多少。
  作为一个资深OIer,你应该知道输出要对10^9+7取模。

Input

  一行三个数,表示A、B、D。

Output

  一个数,表示路径平方和。

Sample Input

  3 3 2

Sample Output

  180

HINT

  D<=10^9, A,B<=10^6

Solution

  首先,我们注意到若一束光在一个平面反射,相当于镜面一侧的物体对称到镜面另一侧,而光线穿过镜面照到物体成的虚像上。
  所以,我们可以认为:有一个D∗D的网格,需要在这个网格上面找到一点(x,y),要满足x+y−2 = D,这样的话,我们把(0,0)(x,y)连接起来,连线所经过的网格边就是镜面反射时经过的边。也就是说,任意的合法方案整数对(x,y)是一一对应的。
  注意,由于在反射过程中,不能碰到网格的角落,所以应该满足(0,0)(x,y)连线上没有其他整点,也就是gcd(x,y)=1,即gcd(x,D+2)=1

  然后用莫比乌斯反演推一波式子,最后发现要用暴力解决qaq。

  

Code

 1 #include<iostream>    
 2 #include<string>    
 3 #include<algorithm>    
 4 #include<cstdio>    
 5 #include<cstring>    
 6 #include<cstdlib>
 7 #include<cmath>
 8 #include<bitset>
 9 using namespace std;  
10 typedef long long s64;
11 
12 const int ONE = 50005;
13 const int MOD = 1e9 + 7;
14 const int Niyu = 166666668;
15 
16 s64 A, B, D;
17 int P[ONE],num;
18 int vis[ONE];
19 s64 Ans;
20 
21 int get()
22 {    
23         int res=1,Q=1;char c;    
24         while( (c=getchar())<48 || c>57 ) 
25         if(c=='-')Q=-1; 
26         res=c-48;     
27         while( (c=getchar())>=48 && c<=57 )    
28         res=res*10+c-48;    
29         return res*Q;
30 }
31 
32 void Factor(int x)
33 {
34         for(int i=2; i*i<=x; i++)
35         if(x % i == 0)
36         {
37             P[++num] = i;
38             while(x % i == 0) x /= i;
39         }
40         if(x != 1) P[++num] = x;
41 }
42 
43 int Calc(int n)
44 {
45         return (s64)n * (n+1) % MOD * (2*n+1) % MOD * Niyu % MOD; 
46 }
47 
48 void Deal()
49 {
50         int d = 1, N = 0;
51         for(int i=1; i<=num; i++)
52             if(vis[i]) d = (s64)d * P[i] % MOD ,N++;
53         N = N & 1 ? MOD-1 : 1;
54         Ans = Ans + (s64)N % MOD * d % MOD * d % MOD * Calc((D+2) / d) % MOD,
55         Ans %= MOD; 
56 }
57 
58 void Dfs(int T)
59 {
60         if(T > num) {Deal(); return;}
61         vis[T] = 1; Dfs(T+1);
62         vis[T] = 0; Dfs(T+1);
63 }
64 
65 int main()
66 {
67         cin>>A>>B>>D;
68         if(D & 1) {printf("0"); return 0;}
69         Factor(D + 2);
70         Dfs(1);
71         printf("%d", (s64)(A * A % MOD + B * B % MOD) % MOD * Ans % MOD);
72 } 
View Code

 

posted @ 2017-06-23 17:46  BearChild  阅读(279)  评论(0编辑  收藏  举报