匹配、覆盖、独立集、二分图与网络流

概念：

设图 G={V,E}

• 匹配：在G中两两没有公共端点的边集合M⊆E
• 边覆盖：G中任意顶点都至少是F中某条边的端点的边集合F⊆E
• 独立集：在G中两两互不相连的顶点集合S⊆V
• 顶点覆盖：G中的任意边都有至少一个端点属于S的顶点集合S⊆V

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定理：

1. 对于不存在独立点的图，|最大匹配数|+|最小边覆盖|=|V|
2. |最大独立集|+|最小顶点覆盖|=|V|
3. 对于二分图，|最大匹配|=|最小顶点覆盖|

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不严谨的理解：

一：

可以想象，最小边覆盖可以通过最大匹配加边来完成，但是要加多少条边呢？

假设图G的最大匹配为M，那么这时还有|V|−2×|M|个点没有覆盖，这时需要|V|−2×|M|条边进行覆盖这些点。可以贪心的想，要尽可能的用一条边覆盖尽量多的点，但是一条边覆盖两个点的情况是不存在的，因为如果一条边可以覆盖两个新的点，那么当前的匹配就不是最大匹配了，与假设矛盾。所以每个点都要加一条边进行覆盖。

由此可知，图G的最小边覆盖为：|F|=|M|+|V|−2×|M|=|V|−|M|
移项可得：|F|+|M|=|V|

关于为什么不能有孤立的点呢，因为这些孤立点一条边都没有，最后|V|>|F|+|M|

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二：

可以这样理解，现在图G要删除一些点，构造最小顶点覆盖，要删除哪些点呢？

一个思路是删除一组两两独立的点，因为这样删除点，不会导致一条边的两个端点都被删去。如果一条边的两个端点都被删去了，那么删去的点也就不是互相独立的了。这样要构造最小的顶点覆盖，就要尽量多的删去两两独立的点，那么就是V删去最大独立集了。

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三：暂时还没找到比较容易理解的方式