ACM ICPC 2017 Warmup Contest 2 I. Integral Polygons（计算几何+动态规划）

链接：https://nanti.jisuanke.com/t/17429

题意：给定一个由n个顶点组成的凸多边形，顶点都是整点，求有多少条对角线可以把该多边形分成两部分，满足两部分的面积都是整数。

分析：多边形面积S=1/2 |∑(xi*y(i+1)-x(i+1)*yi)|，只需要判断绝对值里的东西是否能被2整除。然后就是很奇怪的一个dp了。。设dp[t][k][a][b]为以第t个顶点为最后一个点，起点(x,y)=(a,b)mod2，对应的面积两倍mod2余k。然后O(n)处理dp[0]，对xt-x(t+1)、yt-y(t+1)的奇偶性分情况dp，具体见代码。。最后把dp[i][0]求和，然后这个答案里考虑了以相邻点或者相同点为起点和终点的，所以要先-3*n，然后每种分法对应答案里的两种情况，所以答案要再除以2。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn=2e5+5;
typedef long long ll;
int n;
ll x[maxn],y[maxn],ans=0;
ll dp[maxn][2][2][2];
//q[maxn],ans=0;
//ll dp1[maxn],dp2[maxn];
//ll sum[4][maxn];
//ll GetA(int s,int t){
//    if(s<=t)return sum[t-1]-sum[s-1]+x[t]*y[s]-x[s]*y[t];
//    return sum[t-1]+sum[n]-sum[s-1]+x[t]*y[s]-x[s]*y[t];
//}
ll GetArea(ll x1,ll y1,ll x2,ll y2,ll x3,ll y3){
    return ((x2-x1)*(y2+y1)+(x3-x2)*(y3+y2)+(x1-x3)*(y1+y3));//((x2-x1)*(y2+y1)+(x3-x2)*(y3+y2)+(x1-x3)*(y1+y3))%2;
}
int main(){
//    freopen("e:\\in.txt","r",stdin);
    while(scanf("%d",&n)!=EOF){
        ans=0;
        for(int i=0;i<n;i++){
            scanf("%lld%lld",&x[i],&y[i]);
            x[i]=(x[i]%2+2)%2;
            y[i]=(y[i]%2+2)%2;
        }
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        ll sum=0;
        for(int s=n-1;s>=0;s--){
            sum+=GetArea(x[s],y[s],x[(s+1)%n],y[(s+1)%n],x[0],y[0]);
            sum=(sum%2+2)%2;
            dp[0][(sum%2+2)%2][x[s]%2][y[s]%2]++;
        }
        if(sum){
            printf("0\n");continue;
        }
        for(int t=0;t<n-1;t++){
            ll delta=x[t+1]*y[t]-x[t]*y[t+1];
            delta=(delta%2+2)%2;
            if(((x[t+1]-x[t])%2+2)%2==1&&((y[t+1]-y[t])%2+2)%2==1){
                for(int k=0;k<2;k++){
                    dp[t+1][k][0][0]=dp[t][k^delta][0][0];
                    dp[t+1][k][1][1]=dp[t][k^delta][1][1];
                    dp[t+1][k][0][1]=dp[t][k^(delta^1)][0][1];
                    dp[t+1][k][1][0]=dp[t][k^(delta^1)][1][0];
                }
            }
            else if(((x[t+1]-x[t])%2+2)%2==0&&((y[t+1]-y[t])%2+2)%2==1){
                for(int k=0;k<2;k++){
                    dp[t+1][k][0][0]=dp[t][k^delta][0][0];
                    dp[t+1][k][0][1]=dp[t][k^delta][0][1];
                    dp[t+1][k][1][0]=dp[t][k^(delta^1)][1][0];
                    dp[t+1][k][1][1]=dp[t][k^(delta^1)][1][1];
                }
            }else if(((x[t+1]-x[t])%2+2)%2==1&&((y[t+1]-y[t])%2+2)%2==0){
                for(int k=0;k<2;k++){
                    dp[t+1][k][0][0]=dp[t][k^delta][0][0];
                    dp[t+1][k][1][0]=dp[t][k^delta][1][0];
                    dp[t+1][k][0][1]=dp[t][k^(delta^1)][0][1];
                    dp[t+1][k][1][1]=dp[t][k^(delta^1)][1][1];
                }
            }else{
                for(int k=0;k<2;k++){
                    dp[t+1][k][0][0]=dp[t][k^delta][0][0];
                    dp[t+1][k][1][1]=dp[t][k^delta][1][1];
                    dp[t+1][k][0][1]=dp[t][k^delta][0][1];
                    dp[t+1][k][1][0]=dp[t][k^delta][1][0];
                }
            }
        }
        for(int i=0;i<n;i++){
            for(int X=0;X<2;X++){
                for(int Y=0;Y<2;Y++){
                    ans+=dp[i][0][X][Y];
                }
            }
        }
        ans-=3*n;
        printf("%lld\n",ans/2);
    }
    return 0;
}