BZOJ1857 传送带 （三分法求单峰函数极值）

第一次发BZOJ的题解，先从水题开始吧，好不容易找到一道水题，那就从这题开始吧。

1.题设部分{

题目描述：

在一个2维平面上有两条传送带，每一条传送带可以看成是一条线段。两条传送带分别为线段AB和线段CD。lxhgww在AB上的移动速度为P，在CD上的移动速度为Q，在平面上的移动速度R。现在lxhgww想从A点走到D点，他想知道最少需要走多长时间？

Sample Input

0 0 0 100
100 0 100 100
2 2 1

Sample Output

136.60

[Submit]

}

2.题目分析{

　　对于这道题，我的物理老师经常说，做物理题要结合图做，比如做力学的题目要做受力分析，做电学的题目要画电路图，这是一道运动学的题目，所以我们可以先把样例画出来，如下图：

管他对不对呢，反正大概就这样，将就着能用就行，显然，我们可以发现，答案必然是从AB上的某一个点出发，经过平面，到达CD上的另一点然后到达D。即答案可以表示为

|AF|/P+|FE|/R+|ED|/Q ,其中F∈AB，E∈CD

我们考虑将F点（你喜欢E点就E点）确定，那么剩下的问题就在于确定E点（若前面选择E点那就是确定F点，以后就统一E点算了）。那么怎么确定E点呢，生活常识告诉我们，在CD上肯定有一个最优的解，这个点两侧的解都越来越差，即函数图像大致为下面这样：

 

容易看出这是一个单峰函数，还是一个上凸的单峰函数，那么我们的问题就暂时变为了求这个单峰函数的极值。

下面介绍一种求单峰函数极值的方法：三分法，lrj的蓝书上有较为详细的记载。

三分法：

　　对于任意一个上凸函数，选取函数上任意两个点A,B（xA<xB），若满足yA<yB,那么该函数的极值点必然在[xA,+∞)中，若满足yA>yB，那么该函数极值点必然在(-∞,xB]中，若满足yA=yB，那么该函数的极值点必然在[xA,xB]中。

　　对于任意一个下凸函数，选取函数上任意两个点A,B（xA<xB），若满足yA<yB,那么该函数的极值点必然在(-∞,xB]中，若满足yA>yB，那么该函数极值点必然在[xA,+∞)中，若满足yA=yB，那么该函数的极值点必然在[xA,xB]中。

　　证明很简单，有兴趣的人可以自己证明一下。

继续回到题目分析上来：

　　有了三分法后，我们得到了解决了对于某个特定点F，如何求得最优的E点的方法，但是，问题中并没有给出F点在哪，那该怎么办？

　　这时，我们可以思考这样一个问题：如果我们已知某个确定的点E，能够用三分法求出F吗，显然我们可以，那么我们就可以考虑用三分法的方法确定一个F，然后再通过这个F确定另一个E，即三分套三分，听起来很可行的样子，那么就写一下试试。

代码部分：

代码等下补，我先打会儿游戏。

}