2016计蒜之道复赛 百度地图的实时路况(Floyd 分治)

题意

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Sol

首先一个结论：floyd算法的正确性与最外层\(k\)的顺序无关(只要保证是排列即可)

我大概想到一种证明方式就是把最短路树上的链拿出来，不论怎样枚举都会合并其中的两段，所以正确性是对的

这道题的话显然一个\(n^4\)的暴力是枚举哪个点不选，再跑floyd。

这个暴力等价于求出每个点除它之外的Floyd矩阵

那么考虑暴力分治，每次找一个中间点\(mid\)，暴力向左右递归即可

时间复杂度：\(O(n^3 logn)\)

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long 
using namespace std;
const int MAXN = 301;
inline int read() {
    char c = getchar(); int x = 0, f = 1;
    while(c < '0' || c > '9') {if(c == '-') f = -1; c = getchar();}
    while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
    return x * f;
}
int N, g[MAXN][MAXN];
LL ans = 0;
void chmin(int &a, int b) {a = (a < b ? a : b);}
void solve(int l, int r) {
	if(l == r) {
		for(int i = 1; i <= N; i++) 
			for(int j = 1; j <= N; j++) 
				if(i != l && j != l) ans += (g[i][j] == 1e9 ? -1 : g[i][j]);
		return ;
	}
	int f[MAXN][MAXN];
	memcpy(f, g, sizeof(g));
	int mid = l + r >> 1;
	for(int k = mid + 1; k <= r; k++)
		for(int i = 1; i <= N; i++)
			for(int j = 1; j <= N; j++)
				if(i != k && j != k) chmin(g[i][j], g[i][k] + g[k][j]);
	solve(l, mid);
	memcpy(g, f, sizeof(g));	
	for(int k = l; k <= mid; k++) 
		for(int i = 1; i <= N; i++)
			for(int j = 1; j <= N; j++)
				if(i != k && j != k) chmin(g[i][j], g[i][k] + g[k][j]);	
	solve(mid + 1, r);
	memcpy(g, f, sizeof(g));
}
int main() {
	N = read();
	for(int i = 1; i <= N; i++) 	
		for(int j = 1; j <= N; j++) {
			g[i][j] = read();
			if(g[i][j] == -1) g[i][j] = 1e9;
		}
	solve(1, N);
	cout << ans;
    return 0;
}