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今天看3D(时空域) Harris角点的检测,发现网上关于此的中文内容很少,所以决定写两篇文章,分享一下自己的心得。第一篇是关于在空域上的Harris角点检测。

 

在我们解决问题时,往往希望找到特征点,“特征”顾名思义,指能描述物体本质的东西,还有一种解释就是这个特征微小的变化都会对物体的某一属性产生重大的影响。而角点就是这样的特征。

观察日常生活中的“角落”就会发现,“角落”可以视为所有平面的交汇处,或者说是所有表面的发起处。假设我们要改变一个墙角的位置,那么由它而出发的平面势必都要有很大的变化。所以,这就引出了图像角点的定义

“如果某一点在任意方向的一个微小变动都会引起灰度很大的变化,那么我们就把它称之为角点”


 

由上面定义,我们可以想到算法思路:去检测图像像素的灰度变化情况,即求解  

,其中,I(x,y)表示像素的灰度值

对于上式,我们希望找到使E的值尽量大的点,则,将上式右边泰勒展开得:

整理可得:

,进而可以表示为下式

这里考虑进去窗函数,设

于是,Harris整理出Harris算子的公式:

,其中M即为上面的矩阵,但是为什么会有这个算子呢,我试着给一点解释。

让我们来重新来考虑矩阵,一切的问题还得回归到数学上去

,这个矩阵先摆在这里,我们先看一下协方差矩阵。


  协方差矩阵的作用为什么比方差和均值要大呢?显而易见方差和均值只是一维随机变量的统计值,而协方差就不一样了,它可以表示多维随机变量之间的相关性信息。协方差矩阵的一个很出色的应用就是在PCA中,选择主方向。协方差矩阵的对角线的元素表示的是各个维度的方差,而非对角线上的元素表示的是各个维度之间的相关性,因此,在PCA中,我们尽量将非对角线上的元素化为0,即将矩阵对角化,选特征值较大的维度,去掉特征值较小的维度,来获得主方向,并且使主方向与其他方向的相关性尽量小。那现在看看这个矩阵M,通过上面对协方差的描述,我们完全可以把这个矩阵看做一个二维随机分布的协方差矩阵,那么我们要做的就是将其对角化,求矩阵的两个特征值,然后根据这两个特征值来判断是不是角点(两个特征值都大代表角点)。


而对于Harris算子来说,我们也可以写成下式的形式:

,单单从这个式子中我们无法与上面联系起来,上面是说要让两个特征值都大的点,而这个式子是要求使R最大的点,而也没有办法一眼看出R与两个特征值之间的单调性关系。


下面我只是去验证此式的正确性,至于它到底是根据什么构造的,我还不清楚,如果有人知道,请告诉我一下~~

我们这里设,进而可以设,所以,现在我们对求导,整理后可得下式:

,对于k值,我们一般取0.04~0.06,所以对于角点,导数是正的,且随着特征值的增大,导数呈上升的趋势。也就是说这个算子是符合上面的理论分析的。


 

像上面这样去求解原则上是没有问题的,可是,众所周知,原始的Harris角点检测算法不具有尺度不变性(也就是说如果图像的尺度发生变化,那么可能原来是角点的点在新的尺度就不是角点了)。

所以,我们在进行运算的开始先将图像转化到尺度空间表示,即将原图像进行尺度变换,而尺度变换的方式就是问题的输入信号与尺度核函数做卷积运算:

,其中这里的运算为卷积运算,不是乘运算。即

,其中sigma表示尺度。然后,我们就使用L代替原图像去进行运算,而尺度成了我们运算的参数了。


我们知道Harris角点本身就不受光照,旋转的影响,现在我们又使其满足尺度不变性,所以,Harris角点可以作为一个优秀的特征来帮助我们解决问题。

 

本文只介绍了一下空域上的Harris角点的检测,但是我们现在需要将Harris角点扩展到时空域中,其实道理都差不多,再续!

 

posted on 2012-05-07 14:30 TiffanyZhou 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏
 
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