寻找第K大的数的方法总结

      今天看算法分析是,看到一个这样的问题,就是在一堆数据中查找到第k个大的值。

      名称是:设计一组N个数,确定其中第k个最大值,这是一个选择问题,当然,解决这个问题的方法很多,本人在网上搜索了一番,查找到以下的方式,决定很好,推荐给大家。

      所谓“第(前)k大数问题”指的是在长度为n(n>=k)的乱序数组中S找出从大到小顺序的第(前)k个数的问题。

      解法1: 我们可以对这个乱序数组按照从大到小先行排序,然后取出前k大,总的时间复杂度为O(n*logn + k)。
      解法2: 利用选择排序或交互排序,K次选择后即可得到第k大的数。总的时间复杂度为O(n*k)
      解法3: 利用快速排序的思想,从数组S中随机找出一个元素X,把数组分为两部分Sa和Sb。Sa中的元素大于等于X,Sb中元素小于X。这时有两种情况:
           1. Sa中元素的个数小于k,则Sb中的第k-|Sa|个元素即为第k大数;
           2. Sa中元素的个数大于等于k,则返回Sa中的第k大数。时间复杂度近似为O(n)
      解法4: 二分[Smin,Smax]查找结果X,统计X在数组中出现,且整个数组中比X大的数目为k-1的数即为第k大数。时间复杂度平均情况为O(n*logn)
      解法5:用O(4*n)的方法对原数组建最大堆,然后pop出k次即可。时间复杂度为O(4*n + k*logn)
      解法6:维护一个k大小的最小堆,对于数组中的每一个元素判断与堆顶的大小,若堆顶较大,则不管,否则,弹出堆顶,将当前值插入到堆中。时间复杂度O(n * logk)
      解法7:利用hash保存数组中元素Si出现的次数,利用计数排序的思想,线性从大到小扫描过程中,前面有k-1个数则为第k大数,平均情况下时间复杂度O(n)

      附注:
      1. STL中可以用nth_element求得类似的第n大的数(由谓词决定),使用的是解法3中的思想,还可以用partial_sort对区间进行部分排序,得到类似前k大的数(由谓词决定),它采用的是解法5的思想。
      2. 求中位数实际上是第k大数的特例。
          《编程之美》2.5节课后习题:
           1. 如果需要找出N个数中最大的K个不同的浮点数呢?比如,含有10个浮点数的数组(1.5,1.5,2.5,3.5,3.5,5,0,- 1.5,3.5)中最大的3个不同的浮点数是(5,3.5,2.5)。
           解答:上面的解法均适用,需要注意的是浮点数比较时和整数不同,另外求hashkey的方法也会略有不同。
           2. 如果是找第k到第m(0<k<=m<=n)大的数呢?
           解答:如果把问题看做m-k+1个第k大问题,则前面解法均适用。但是对于类似前k大这样的问题,最好使用解法5或者解法7,总体复杂度较低。
       3. 在搜索引擎中,网络上的每个网页都有“权威性”权重,如page rank。如果我们需要寻找权重最大的K个网页,而网页的权重会不断地更新,那么算法要如何变动以达到快速更新(incremental update)并及时返回权重最大的K个网页?
提示:堆排序?当每一个网页权重更新的时候,更新堆。还有更好的方法吗?
       解答:要达到快速的更新,我们可以解法5,使用映射二分堆,可以使更新的操作达到O(logn)

       4. 在实际应用中,还有一个“精确度”的问题。我们可能并不需要返回严格意义上的最大的K个元素,在边界位置允许出现一些误差。当用户输入一个query的时候,对于每一个文档d来说,它跟这个query之间都有一个相关性衡量权重f (query, d)。搜索引擎需要返回给用户的就是相关性权重最大的K个网页。如果每页10个网页,用户不会关心第1000页开外搜索结果的“精确度”,稍有误差是可以接受的。比如我们可以返回相关性第10 001大的网页,而不是第9999大的。在这种情况下,算法该如何改进才能更快更有效率呢?网页的数目可能大到一台机器无法容纳得下,这时怎么办呢?

      提示:归并排序?如果每台机器都返回最相关的K个文档,那么所有机器上最相关K个文档的并集肯定包含全集中最相关的K个文档。由于边界情况并不需要非常精确,如果每台机器返回最好的K’个文档,那么K’应该如何取值,以达到我们返回最相关的90%*K个文档是完全精确的,或者最终返回的最相关的K个文档精确度超过90%(最相关的K个文档中90%以上在全集中相关性的确排在前K),或者最终返回的最相关的K个文档最差的相关性排序没有超出110%*K。
      解答:正如提示中所说,可以让每台机器返回最相关的K'个文档,然后利用归并排序的思想,得到所有文档中最相关的K个。 最好的情况是这K个文档在所有机器中平均分布,这时每台机器只要K' = K / n (n为所有机器总数);最坏情况,所有最相关的K个文档只出现在其中的某一台机器上,这时K'需近似等于K了。我觉得比较好的做法可以在每台机器上维护一个堆,然后对堆顶元素实行归并排序。

       5. 如第4点所说,对于每个文档d,相对于不同的关键字q1, q2, …, qm,分别有相关性权重f(d, q1),f(d, q2), …, f(d, qm)。如果用户输入关键字qi之后,我们已经获得了最相关的K个文档,而已知关键字qj跟关键字qi相似,文档跟这两个关键字的权重大小比较靠近,那么关键字qi的最相关的K个文档,对寻找qj最相关的K个文档有没有帮助呢?

解答:肯定是有帮助的。在搜索关键字qj最相关的K个文档时,可以在qj的“近义词”相关文档中搜索部分,然后在全局的所有文档中在搜索部分。

       

posted @ 2010-02-26 13:53 萧萧空间 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏