波动方程-初值问题-达朗贝尔公式的推导

1. 波动方程-初值问题-达朗贝尔公式的推导

1.1. 问题

\[\begin{cases} 加速度：u_{tt} = a^{2}u_{xx},x\in R,t>0 \\ 初位移：u|_{t = 0} = \varphi(x) \\ 初速度：u_{t}|_{t = 0} = \psi(x) \end{cases}\tag{1} \]

1.2. 结论

\[u = \frac{1}{2}[\varphi(x-at)+\varphi(x+at)]+\frac{1}{2a}\int_{x-at}^{x+at}\psi(🔺)d🔺 \]

1.3. 理论推导

作方程类型判断（视t为y）：

\[\Delta = b^{2}-4AC=0-4\times{a^{2}}\times{(-1)}=4a^{2}>0,为双曲型 \]

由特征方程：

\[dx^{2}-a^{2}dt^{2}=0\tag{2} \]

知：

\[(\frac{dx}{dt})_1= a,(\frac{dx}{dt})_{2}=-a\tag{3} \]

对(3)积分，有：

\[\begin{cases} x-at = C_1 \\ x+at=C_2 \\ \end{cases}\tag{4} \]

对(1)作变量代换：

\[\begin{cases} 🔺= x-at \\ ⚪= x+at \end{cases}\tag{5} \]

则有：

\[u_{🔺,⚪} = 0\tag{6} \]

对 (6)积分则有：

\[u =f(🔺)+g(⚪)\tag{7} \]

将u代入初始条件，有：

\[\begin{cases} 初位移条件的结论：f(x)+g(x) =\varphi(x) \\ 初速度条件的结论：a[-f'(x)+g'(x)] = \psi(x) \end{cases}\tag{8} \]

对上式初速度条件得到的方程两边积分，有：

\[初速度条件的结论的推论：-f(x)+g(x) = \frac{1}{a} \int_{x_0}^{x}\psi(\lambda)d\lambda+{C}\tag{9} \]

整理 (8)、(9)，得到：

\[\begin{cases} 初位移条件的结论：f(★)+g(★) =\varphi(★) \\ \\ 初速度条件的结论的推论：-f(★)+g(★) = \frac{1}{a} \int_{x_0}^{★}\psi(\lambda)d\lambda+{C} \end{cases}\tag{10} \]

联立求解上式得到：

\[\begin{cases} f(★) = \frac{1}{2}\varphi(★) -\frac{1}{2a} \int_{x_{0}}^{★}\psi(😊)d😊-\frac{C}{2} \\ g(★) = \frac{1}{2}\varphi(★) +\frac{1}{2a} \int_{x_{0}}^{★}\psi(😊)d😊+\frac{C}{2} \end{cases}\tag{11} \]

整理之前的变量变换结果：

\[\begin{cases} u(x,t) =f(🔺)+g(⚪)\\ 🔺= x-at \\ ⚪= x+at \end{cases}\tag{12} \]

将 (12)代入 (11)，得到

\[\begin{cases} f(x-at) = \frac{1}{2}\varphi(x-at) -\frac{1}{2a} \int_{x_{0}}^{x-at}\psi(😊)d😊-\frac{C}{2} =\frac{1}{2}\varphi(x-at) +\frac{1}{2a} \int_{x-at}^{x_{0}}\psi(😊)d😊-\frac{C}{2} \\ g(x+at) = \frac{1}{2}\varphi(x+at) +\frac{1}{2a} \int_{x_{0}}^{x+at}\psi(😊)d😊+\frac{C}{2} \end{cases}\tag{13} \]

将 (13)结果代入 (12)，于是得到解的表达式，如下：

\[u(x,t) =\frac{1}{2}[\varphi(x-at)+\varphi(x+at)]+\frac{1}{2a} \int_{x-at}^{x+at}\psi(😊)d😊\tag{14} \]