推导坐标旋转公式

在《Flash actionScript 3.0 动画教程》一书中有一个旋转公式:

x1=cos(angle)*x-sin(angle)*y;

y1=cos(angle)*y+sin(angle)*x;

其中x,y表示物体相对于旋转点旋转angle的角度之前的坐标,x1,y1表示物体旋转angle后相对于旋转点的坐标

 

从数学上来说,此公式可以用来计算某个点绕另外一点旋转一定角度后的坐标,例如:A(x,y)绕B(a,b)旋转β度后的位置为C(c,d),则x,y,a,b,β,c,d有如下关系式:

1。设A点旋转前的角度为δ,则旋转(逆时针)到C点后角度为δ+β

2。求A,B两点的距离:dist1=|AB|=y/sin(δ)=x/cos(δ)

3。求C,B两点的距离:dist2=|CB|=d/sin(δ+β)=c/cos(δ+β)

4。显然dist1=dist2,设dist1=r所以:

  r=x/cos(δ)=y/sin(δ)=d/sin(δ+β)=c/cos(δ+β)

5。由三角函数两角和差公式知:

  sin(δ+β)=sin(δ)cos(β)+cos(δ)sin(β)

  cos(δ+β)=cos(δ)cos(β)-sin(δ)sin(β)

  所以得出:

  c=r*cos(δ+β)=r*cos(δ)cos(β)-r*sin(δ)sin(β)=xcos(β)-ysin(β)

  d=r*sin(δ+β)=r*sin(δ)cos(β)+r*cos(δ)sin(β)=ycos(β)+xsin(β)

即旋转后的坐标c,d只与旋转前的坐标x,y及旋转的角度β有关

 

从图中可以很容易理解出A点旋转后的C点总是在圆周上运动,圆周的半径为|AB|,利用这点就可以使物体绕圆周运动,即旋转物体。

 

接下来继续公式的应用。。。待续。。。

posted @ 2010-08-06 01:25  ywxgod  阅读(52009)  评论(2编辑  收藏  举报