POJ1061（同余方程）
当看完这道题时，觉得似曾相识。这道题跟不久前老师给我们出的那道题很像，一看就是解同余方程。其中还有欧几里得算法的应用。
思路：两只青蛙跳一次所花费的时间相同，我们设其为t，则x+mt是青蛙A从坐标原点到终点所走的距离，y+nt是B走的距离，要想碰面，则他们相减一定是地面周长的整数倍，设为k*L；则：(x+mt)-(y+nt)=kl;变形得：(m-n)t-(y-x)=kL;即有(m-n)t mod L=y-x;为线性同余方程。此方程有解当且仅当y-x能被m-n和L的最大公约数(记为gcd(m-n,L)),即gcd(m-n,L)|y-x。这时，如果x0是方程的一个解，即当t=x0时，(m-n)t mod L=y-x成立，那么所有的解可以表示为：
{x0+k(L/gcd(m-n,L))|(k∈整数)}。
欧几里得算法的拓展应用中有如下三条定理：
定理一：如果d = gcd(a, b)，则必能找到正的或负的整数k和l，使d = a*x+ b*y。
定理二：若gcd(a, b) = 1，则方程ax ≡ c (mod b)在[0, b-1]上有唯一解。
定理三：若gcd(a, b) = d，则方程ax ≡ c (mod b)在[0, b/d - 1]上有唯一解。
证明：上述同余方程等价于ax + by = c，如果有解，两边同除以d，就有a/d * x + b/d * y = c/d，即a/d * x ≡ c/d (mod b/d)，显然gcd(a/d, b/d) = 1，所以由定理二知道x在[0, b/d - 1]上有唯一解。所以ax + by = c的x在[0, b/d - 1]上有唯一解，即ax ≡ c (mod b)在[0, b/d - 1]上有唯一解。
如果得到ax ≡ c (mod b)的某一特解X，那么令r = b/gcd(a, b)，可知x在[0, r-1]上有唯一解，所以用x = (X % r + r) % r就可以求出最小非负整数解x了！（X % r可能是负值，此时保持在[-(r-1), 0]内，正值则保持在[0, r-1]内。加上r就保持在[1, 2r - 1]内，所以再模一下r就在[0, r-1]内了）。
代码如下：
View Code
2 __int64 exgcd(__int64 a,__int64 b,__int64 &x,__int64 &y)//欧几里得算法的扩展
3 {
4 __int64 r,t;
5 if(b==0)
6 {
7 x=1;
8 y=0;
9 return a;
10 }
11 r=exgcd(b,a%b,x,y);
12 t=x;
13 x=y;
14 y=t-a/b*y;
15 return r;
16 }
17 int main()
18 {
19 __int64 x,y,m,n,l,xx,yy,d,r;
20 scanf("%I64d%I64d%I64d%I64d%I64d",&x,&y,&m,&n,&l);
21 d=exgcd(n-m,l,xx,yy);
22 if((x-y)%d!=0) printf("Impossible\n");
23 else {
24 xx=xx*((x-y)/d);
25 r=l/d;
26 xx=(xx%r+r)%r;//求出最小非负整数解
27 printf("%I64d\n",xx);
28 }
29 return 0;
30 }
