时空复杂度

时空复杂度

算法效率：

• 时间效率：程序在计算机上执行所消耗的时间

  • 事后统计

    • 缺：编写程序实现算法要花费较多时间精力；所得实验结果依赖于计算机的软硬件等环境因素，掩盖算法分身的优劣

  • 事前分析：估算；算法运行时间=一个简单操作所需的时间*简单操作次数（转化为语句频度的比较）

    例：

    1 for(i=1;i<=n;i++)  		 				     // n+1次，虽然不满足条件但也执行一次
    2 	for(j=1;j<=n;j++){ 		 				    // n(n+1)次
    3 		c[i][j]=0;			 		           //n*n次
    4		for(k=0;k<n;k++)					  //n*n*(n+1)次
    5			c[i][j]=c[i][j]+a[i][k]*b[k][j];		 // n*n*n次
    6	}

• T(n)=2n^3+ 3n^2+2n +1=时间复杂度O(n^3)（为了便于比较仅比较数量级）

  T(n)=O(f(n))；O(f(n))（O是数量级的符号）为算法的渐进时间复杂度， 简称时间复杂度

  步骤：

  1. 找出语句频度最大的那条语句作为基本语句
  2. 计算基本语句的频度得到问题规模n的某个函数f(n)
  3. 取其数量级将用O表示

  例：

  for( i=1; i<=n; i++)
  ​ for (j=1; j<=i; j++)
  ​ for (k=1; k<=j; k++)
  ​ x=x＋1;

  语句频度=n(n+1)(n+2)/6

  T(n)=O(n^3)

  例：

  i=1;

  while(i<=n)

  ​ i=i*2;

  T(n)=O(log2 n)

  有的情况下基本重复执行次数还随问题的输入数据不同而不同

  例：顺序查找，在数组a[i]中查找值为e的元素，返回其所在位置

  最好的情况：1次；最差的情况：n次；平均时间复杂度：O(n)

  所以，一般考虑的是最差情况下的时间复杂度，以保证算法的运行时间不会更长

  复杂度低->高

  常数阶	对数阶	线性阶	线性对数阶	平方阶	立方阶	...	K次方阶	指数阶
  O(1)	O(log2 n)	O(n)	O(nlog2 n)	O(n^2)	O(n^3)		O(n^K)	O(2^n)

  ​

• 空间效率：算法所需存储空间的度量 S(n)=O(f(n))

  算法占据的空间：

  • 算法本身要占据的空间：输入/输出、指令、常数、变量等
  • 算法要使用的辅助空间

  例：将一维数组a中的n个数逆序存放到原数组中

  for(i=0;i<n/2;i++){
  ​ t=a[i];

  ​ a[i]=a[n-i-1];

  ​ a[n-i-1]=t;

  }

  变量为t,其空间复杂度S(n)=O(1)

  for(i=o;i<n;i++)

  ​ b[i]=a[n-i-1];

  ​ for(i=0;i<n;i++)
  ​ a[i]=b[i];
  变量为b[i],其空间复杂度S(n)=O(n)

时间效率空间效率有时候是矛盾的

程序是用某种程序设计语言对算法的具体实现