亿些数学题的推导(Part 2)

P1829

约定 \(n \le m\)。
求 \(\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m} \operatorname{lcm}(i,j)\)
\(=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m} \frac{i \times j}{\gcd(i,j)}\)
枚举最大公因数。
\(=\sum\limits_{g=1}^{n}\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}[\gcd(i,j)=g] \times \frac{i \times j}{g}\)
\(=\sum\limits_{g=1}^{n}\sum\limits_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{g} \rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\lfloor \frac{m}{g} \rfloor}[\gcd(i,j)=1] \times g^2 \times \frac{i \times j}{g}\)
\(=\sum\limits_{g=1}^{n} g \times \sum\limits_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{g} \rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\lfloor \frac{m}{g} \rfloor}[\gcd(i,j)=1]\times i \times j\)
\(=\sum\limits_{g=1}^{n} g \times \sum\limits_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{g} \rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\lfloor \frac{m}{g} \rfloor}i \times j \times \sum\limits_{d|\gcd(i,j)}^{\lfloor \frac{n}{g} \rfloor} \mu(d)\)
提前枚举 \(d\)。
\(=\sum\limits_{g=1}^{n} g \times \sum\limits_{d=1}^{\lfloor \frac{n}{g} \rfloor} \mu(d) \times \sum\limits_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{gd} \rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\lfloor \frac{m}{gd} \rfloor} i \times j \times d^2\)
\(=\sum\limits_{g=1}^{n} g \times \sum\limits_{d=1}^{\lfloor \frac{n}{g} \rfloor} \mu(d) \times d^2 \times \sum\limits_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{gd} \rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\lfloor \frac{m}{gd} \rfloor} i \times j\)
\(=\sum\limits_{g=1}^{n} g \times \sum\limits_{d=1}^{\lfloor \frac{n}{g} \rfloor} \mu(d) \times d^2 \times \sum\limits_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{gd} \rfloor} i \times \sum\limits_{j=1}^{\lfloor \frac{m}{gd} \rfloor}j\)
\(=\sum\limits_{g=1}^{n} g \times \sum\limits_{d=1}^{\lfloor \frac{n}{g} \rfloor} \mu(d) \times d^2 \times \frac{\lfloor \frac{n}{gd} \rfloor(\lfloor \frac{n}{gd} \rfloor+1)}{2} \times \frac{\lfloor \frac{m}{gd} \rfloor(\lfloor \frac{m}{gd} \rfloor+1)}{2}\)
预处理 \(\sum\limits_{d=1}^{\lfloor \frac{n}{g} \rfloor} \mu(d) \times d^2\)。
首先对于 \(\lfloor \frac{n}{g} \rfloor\) 整除分块 \(g\) 再对于 \(\lfloor \frac{n}{gd} \rfloor\) 整除分块 \(d\)，总体时间复杂度为 \(O(n)\)。