e 的超越性

老师在群里发了一份 pdf，读了一下很有意思，就截图放到这里

这个证明使用了一些 trick：

• 对于等号一侧是 0 的等式，可以使用等号另一侧模任何数都是 0 的性质

• 对于 \(x = a+b\)，如果 \(a\) 是非零整数，如果 \(b\) 的绝对值小于 \(1\) 那么 \(x\) 自然非零

• 建立在同余基础上的讨论，最好选模数是质数，这样可以规避讨论因数的累计

• 当证明行至 \(f(x)\) 构造的时候难免有一种不想看了的冲动，但是仔细分析可以发现，这本质上是强突 \(F(0)\) 一点，看看在强制其它 \(F(t)\) 都是 0 的情况下 \(F(0)\) 能不能非零。在这个意图下，我们找到对 \(f\) 的限制，进而构造一个 \(f\) 函数。

如果顺着梳理思路，需要时刻警惕模数可以取任意质数的条件。这点在之前的思考中是非常容易出现疏漏的。

非常好证明啊。