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Exercise 1 证明:设 $ y=g(x,C_1,C_2,\cdots,C_n)$ 是一个充分光滑的函数 族,其中 $ x$是自变量,而 $ C_1,C_2,\cdots,C_n$ 是 $ n$ 个独立的参数(任 意常数),则存在一个形如$ {\displaystyle F(x,y,y',\... 阅读全文
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丁同仁,李承治编《常微分方程教程》第二版的定义1.3给出了 $ n$ 阶常微分方 程$ {\displaystyle F(x,y,y',\cdots,y^{(n)})=0 \ \ \ \ \ (1)}$的通解的定义:Definition 1 (常微分方程的通解) 如果 $ y=\phi(x,C_1... 阅读全文
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像《陶哲轩实分析》这种叙述严格的书读多了,然后去读那些叙述不严格的书,会 感到很不适应.比如,在华罗庚著《高等数学引论》第四册第2.11节,对函数相 关定义如下:Definition 1 (函数相关(华罗庚)) 考虑 $ n$ 个变量的 $ m$ 个函数 $ {\displaystyle \beg... 阅读全文
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本文主要参考了高木贞治的《高等微积分》.为了内容的连续性,我们把第四篇小结里推广的隐函数存在定理重叙如下:Theorem1(隐函数存在定理的推广)设$f:\mathbf{R}^{n+m}\rightarrow\mathbf{R}^m$为连续可微函数,$\mathbf{R}^{n+m}$中的元素写成$... 阅读全文
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我们已经知道,隐函数存在定理叙述如下:Theorem 1 (隐函数存在定理) 设 $ f:\mathbf{R}^{n+m}\rightarrow\mathbf{R}^m$ 为连续可微函数, $ \mathbf{R}^{n+m}$ 中的元素写 成$ \mathbf{(x,y)}=(x_1,\cdot... 阅读全文
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复旦大学欧阳光中,朱学炎,金福临,陈传璋编,高等教育出版社出版的《数学分析》第三版下册例14.2.2如下:例14.2.2:设 $z=f(x,y)$ 可微,$y=\phi(x)$ 的导数 $\phi'(x),\phi''(x)$ 存在,求$z=f(x,\phi(x))$ 关于 $x$ 的一阶与二阶导数... 阅读全文
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在第二篇小结里,我们已经知道,隐函数存在定理陈述如下:Theorem 1 (隐函数存在定理) 设 $ f:\mathbf{R}^{n+m}\rightarrow\mathbf{R}^m$ 为连续可微函数, $ \mathbf{R}^{n+m}$ 中的元素写 成$ \mathbf{(x,y)}=(x... 阅读全文