算法第二章实践报告
一、题目——二分法求函数的零点。
二、问题描述
有函数：f(x)=x5−15x4+85x3−225x2+274x−121 已知f(1.5)>0,f(2.4)<0 且方程f(x)=0 在区间[1.5,2.4] 有且只有一个根，请用二分法求出该根。 提示：判断函数是否为0，使用表达式 fabs(f(x)) < 1e-7
输出格式：该方程在区间[1.5,2.4]中的根。要求四舍五入到小数点后6位。
三、编写的代码
#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <math.h>
using namespace std;
double f;
int flag;
double bsort(double l, double r)
{
while (r-l >= 1e-6)
{
double mid = (l + r) / 2;
f = pow(mid, 5) - 15 * pow(mid, 4) + 85 * pow(mid, 3) - 225 * pow(mid, 2) + 274 * mid - 121;
if (f == 0)
{
flag = 1;//找到根，将flag置为1
return mid;
}
if (f > 0)
{
l = mid;
}
else if (f < 0)
{
r = mid;
}
}
if (!flag)//不断二分后仍未找到根
return r;
}
int main() {
double x = bsort(1.5, 2.4);
cout << fixed << setprecision(6) << x;
return 0;
}
四、算法描述
已知 f(1.5) > 0, f(2.4) < 0，可绘出函数大致图像如图，在区间(1.5, 2.4)内必有一根。我们采用二分法的思想去分割区间，逼近这个根。
首先，设区间的左起点l为1.5，右起点r为2.4，令mid=(l+r)/2，这样我们就得到了区间的中点mid，如图，若 f(mid)>0，那么说明根还在原区间的右半部分，所以我们以mid作为新区间的左起点l，右起点仍为r，再对新区间进行二分分割。
如图，若 f(mid)<0，那么说明根在原区间的左半部分，所以我们以mid作为新区间的右起点r，左起点仍为l，再对新区间进行二分分割。
mid=(l+r)/2，得到的新中点，如果f(mid)大于0、f(r)<0的话，那么就说明根在右半部分，我们重复上述步骤，将mid作为新区间的左起点l，右起点仍为r，再对新区间进行二分分割。
重复以上步骤，不断分割区间，区间的范围不断缩小为原先的1/2、1/4、1/8……如果区间足够小时，比如说区间的长度已经小于0.000001，也就是已经到了小数点后六位，根据题目的要求（该方程在区间[1.5,2.4]中的根，要求四舍五入到小数点后6位），我们可以认为在这个区间内的所有数值，都是这个方程的根，那么就可以结束分割了。
五、算法时间复杂度分析
这道题可以看成是在长度为N的区间内寻找唯一的零点，第一次分割区间后查找分为变成了N/2，第二次分割后范围变成了N/4，第n次分割后查找范围就是N/(2)^n，直到最后查找范围（区间长度）为1，也就是找到了那个数。二分的次数就是基本语句执行的次数，设一共执行了n次分割，可得：
N也就是我们所说的问题规模。
六、时间复杂度分析
本题无需额外的存储空间，故空间复杂度为O(1)。
七、心得体会
这次实验是两个人合作一起完成的，比起以前写代码时都是一个人写，两个人一起合作的时候，编写者（我）难免会犯一些没有察觉到的错误，我的同伴都马上指出了。这次实验我还没有做到解题完全独立，这三道题几乎都是两个人一起一边讨论一边写、一边改出来的。希望我以后能多加强这方面的锻炼和学习。
八、分治法的个人体会和思考
我觉得分治法的思想是一个非常好的思想，将问题细分成和原问题一样的小问题（分），再解决小问题（治），最终合并小问题的解，就得到了原问题的解（合）。有时候一些很复杂的问题，例如汉诺塔问题，乍一看情况很多变，无从下手，但运用分治法的思想后，可以将原问题细化成一目了然的小问题，这些小问题一下子就能找到解决方案，最终也解决了棘手的大问题。
分治法中运用的递归方法我还很不熟练，很多时候不知道什么时候要用递归、怎么用递归，希望日后多加强对递归的学习和运用。
