「luogu4514」 上帝造题的七分钟 - 二维树状数组

题目描述

裸体(题)就意味着身体(神题)。
第一分钟, X 说,要有矩阵,于是便有了一个里面写满了 0 的 \(n×m\) 矩阵。
第二分钟, L 说,要能修改,于是便有了将左上角为 \((a,b)\) ,右下角为 \((c,d)\) 的一个矩形区域内的全部数字加上一个值的操作。
第三分钟,k 说,要能查询,于是便有了求给定矩形区域内的全部数字和的操作。
第四分钟,彩虹喵说,要基于二叉树的数据结构,于是便有了数据范围。
第五分钟,和雪说,要有耐心,于是便有了时间限制。
第六分钟,吃钢琴男说,要省点事,于是便有了保证运算过程中及最终结果均不超过32位有符号整数类型的表示范围的限制。
第七分钟,这道题终于造完了,然而,造题的神牛们再也不想写这道题的程序了。”
——《上帝造裸题的七分钟》
所以这个神圣的任务就交给你了。

时空限制 1000ms /131MB

链接

luogu 4514

题解

算法1(二维线段树)

被卡时间和空间
因为一开始没有估计时间和空间就写了
\(O(2)\) 只过了五个点
二维线段树写得我好苦啊
以后再也不敢乱写了

代码

/*
son[]:0,1,2,3
  -   -
| 0 | 2 |
  -   -
| 1 | 3 |
  -   -
*/

#include <cstdio>
#include <cctype>
//#define DEBUG 1

int n,m,ans;

char readc(){
    char ch;
    while (ch=getchar(),ch!=EOF && !isalpha(ch));
    return ch;
}

template <typename T>
inline void read(T &x){
    x=0; char ch; bool flg=0;
    while (ch=getchar(),ch<48 || 57<ch) flg^=!(ch^'-'); x=(ch&15);
    while (ch=getchar(),47<ch && ch<58) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch&15);
    if (flg) x=-x;
}

template <typename T>
inline T max(const T x,const T y){ if (x<y) return y; return x; }

template <typename T>
inline T min(const T &x,const T &y){ if (x<y) return x; return y; }

struct node{
    int sum,tag;
    int size;
    node *son[4];
    node(){sum=0,tag=0,size=0,son[0]=NULL,son[1]=NULL,son[2]=NULL,son[3]=NULL;} 
};
node *rt=NULL;

void BUILD(node *&u,int a,int b,int c,int d){
    if (u==NULL) u=new node(),u->size=(c-a+1)*(d-b+1);
}

void UPDATE(node *&u){
    if (u==NULL) return;
    u->sum=0;
    if (u->son[0]!=NULL) u->sum+=u->son[0]->sum;
    if (u->son[1]!=NULL) u->sum+=u->son[1]->sum;
    if (u->son[2]!=NULL) u->sum+=u->son[2]->sum;
    if (u->son[3]!=NULL) u->sum+=u->son[3]->sum;
}

void PUSHDOWN(node *&u,int a,int b,int c,int d){
    if (u==NULL) return;
    if (u->size == 1) return;
    if (u->tag){
        int mid0=a+c>>1,mid1=b+d>>1;
        if (u->son[0]==NULL){
            BUILD(u->son[0],a,b,mid0,mid1);
        }
        u->son[0]->tag+=u->tag;
        u->son[0]->sum+=u->tag * u->son[0]->size;
        
        if (u->son[1]==NULL){
            BUILD(u->son[1],mid0+1,b,c,mid1);
        }
        u->son[1]->tag+=u->tag;
        u->son[1]->sum+=u->tag * u->son[1]->size;
        if (u->son[2]==NULL){
            BUILD(u->son[2],a,mid1+1,mid0,d);
        }
        u->son[2]->tag+=u->tag;
        u->son[2]->sum+=u->tag * u->son[2]->size;
        if (u->son[3]==NULL){
            BUILD(u->son[3],mid0+1,mid1+1,c,d);
        }
        u->son[3]->tag+=u->tag;
        u->son[3]->sum+=u->tag * u->son[3]->size;
        u->tag=0;
    }
//  (u->son[0],a,b,mid0,mid1);
//  (u->son[1],mid0+1,b,c,mid1);
//  (u->son[2],a,mid1+1,mid0,d);
//  (u->son[3],mid0+1,mid1+1,c,d);
}

/*
(a,b) 当前区间 左上角 
(c,d) 当前区间 右下角
(ax,bx) 待查区间 左上角
(cx,dx) 待查区间 右下角
*/

void MODIFY(node *&u,int a,int b,int c,int d,int ax,int bx,int cx,int dx,int delta){
    if (u==NULL) BUILD(u,a,b,c,d);
    u->sum+=(cx-ax+1)*(dx-bx+1)*delta;
    if (a==ax && b==bx && c==cx && d==dx){
        u->tag+=delta;
        return;
    }
    PUSHDOWN(u,a,b,c,d);
    int mid0=a+c>>1,mid1=b+d>>1;
    if (ax <= mid0 && bx <= mid1) MODIFY(u->son[0],a,b,mid0,mid1,ax,bx,min(cx,mid0),min(dx,mid1),delta);
    if (cx >  mid0 && bx <= mid1) MODIFY(u->son[1],mid0+1,b,c,mid1,max(ax,mid0+1),bx,cx,min(dx,mid1),delta);
    if (ax <= mid0 && dx >  mid1) MODIFY(u->son[2],a,mid1+1,mid0,d,ax,max(bx,mid1+1),min(cx,mid0),dx,delta);
    if (cx >  mid0 && dx >  mid1) MODIFY(u->son[3],mid0+1,mid1+1,c,d,max(ax,mid0+1),max(bx,mid1+1),cx,dx,delta);
    UPDATE(u);
}

void QUERY(node *&u,int a,int b,int c,int d,int ax,int bx,int cx,int dx){
    if (u==NULL) BUILD(u,a,b,c,d);
#ifdef DEBUG
    printf("%d %d %d %d %d %d %d %d",a,b,c,d,ax,bx,cx,dx);
#endif 
    if (a==ax && b==bx && c==cx && d==dx){
        ans+=u->sum;
#ifdef DEBUG
        printf(" %d\n",u->sum);
#endif
        return;
    }
#ifdef DEBUG
    printf("\n");
#endif
    PUSHDOWN(u,a,b,c,d);
    int mid0=a+c>>1,mid1=b+d>>1;
    if (ax <= mid0 && bx <= mid1) QUERY(u->son[0],a,b,mid0,mid1,ax,bx,min(cx,mid0),min(dx,mid1));
    if (cx >  mid0 && bx <= mid1) QUERY(u->son[1],mid0+1,b,c,mid1,max(ax,mid0+1),bx,cx,min(dx,mid1));
    if (ax <= mid0 && dx >  mid1) QUERY(u->son[2],a,mid1+1,mid0,d,ax,max(bx,mid1+1),min(cx,mid0),dx);
    if (cx >  mid0 && dx >  mid1) QUERY(u->son[3],mid0+1,mid1+1,c,d,max(ax,mid0+1),max(bx,mid1+1),cx,dx);
    UPDATE(u);
}

int main(){
    readc();
    read(n),read(m);
    BUILD(rt,1,1,n,m);
    int a,b,c,d,delta;
    char type;
    while (type=readc(),type!=EOF){
        read(a),read(b),read(c),read(d);
        if (type=='L'){
            read(delta);
            MODIFY(rt,1,1,n,m,a,b,c,d,delta);
        }
        else{
            ans=0;
            QUERY(rt,1,1,n,m,a,b,c,d);
            printf("%d\n",ans);
        }
    }
    return 0;
}

算法2 (二维树状数组)

思路

一维树状数组区间修改区间查询是利用差分的原理,如下,其中 \(A\) 是原数组, \(B\) 是差分数组:
\[ \sum\limits_{i=1}^nA_i\\=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^iB_j\\=\sum\limits_{i=1}^nB_i\times(n-i+1)\\=(\sum\limits_{i=1}^nB_i)\times n-\sum\limits_{i=1}^nB_i\times(i-1) \]
通过一维的树状数组可以拓展出二维的树状数组,对于二维的树状数组区间查询问题,方法还是差分
\(A\) 是二维的原数组, \(B\) 是二维的差分数组
\[ \sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}A_{i,j}\\=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}\sum\limits_{p=1}^{i}\sum\limits_{q=1}^{j}B_{i,j}\\=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}[B_{i,j}\times (n+1-i)\times (m+1-j)]\\=(n+1)(m+1)\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}B_{i,j}\\-(n+1)\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}(B_{i,j}\times j)\\-(m+1)\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}B_{i,j}\times i)\\+\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}B_{i,j}\times i\times j \]
因此,对于二维树状数组区间修改区间查询问题只要维护四个支持单点修改区间查询问题的二维树状数组就可以了,数据很大,常数大就过不了,最后两个点不明 RE,加大 MAXN 后才过了,没有开 \(O2\) 过了的

代码

#include <cstdio>
#include <cctype>

const int MAXN=3055;
int n,m,ans,tree[4][MAXN][MAXN];

char readc(){
    char ch;
    while (ch=getchar(),ch!=EOF && !isalpha(ch));
    return ch;
}

template <typename T>
inline void read(T &x){
    x=0; char ch; bool flg=0;
    while (ch=getchar(),ch<48 || 57<ch) flg^=!(ch^'-'); x=(ch&15);
    while (ch=getchar(),47<ch && ch<58) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch&15);
    if (flg) x=-x;
}

void ADD(int x,int y,int delta){
    if (x<1 || n<x || y<1 || m<y) return;
    for (int i=x;i<=n;i+=i&-i)
    for (int j=y;j<=m;j+=j&-j){
        tree[0][i][j]+=delta;
        tree[1][i][j]+=delta*y;
        tree[2][i][j]+=delta*x;
        tree[3][i][j]+=delta*x*y;
    }
}

int ASK(int x,int y){
    int res=0;
    for (int i=x;i;i-=i&-i)
    for (int j=y;j;j-=j&-j)
        res=res+(x+1)*(y+1)*tree[0][i][j]-(x+1)*tree[1][i][j]-(y+1)*tree[2][i][j]+tree[3][i][j];
    return res;
}

int main(){
    readc();
    read(n),read(m);
    int a,b,c,d,delta;
    char type;
    while (type=readc(),type!=EOF){
        read(a),read(b),read(c),read(d);
        if (type=='L'){
            read(delta);
            ADD(a,b,delta);
            ADD(c+1,b,-delta);
            ADD(a,d+1,-delta);
            ADD(c+1,d+1,delta);
        }
        else
            printf("%d\n",ASK(c,d)-ASK(a-1,d)-ASK(c,b-1)+ASK(a-1,b-1));
    }
    return 0;
}
posted @ 2018-05-08 20:37 xay5421 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏