树的直径(最长路) 的详细证明

主要是利用了反证法:

假设 s-t这条路径为树的直径,或者称为树上的最长路

现有结论,从任意一点u出发搜到的最远的点一定是s、t中的一点,然后在从这个最远点开始搜,就可以搜到另一个最长路的端点,即用两遍广搜就可以找出树的最长路

证明:

1    设u为s-t路径上的一点,结论显然成立,否则设搜到的最远点为T则

dis(u,T) >dis(u,s)     且  dis(u,T)>dis(u,t)   则最长路不是s-t了,与假设矛盾

2   设u不为s-t路径上的点

    首先明确,假如u走到了s-t路径上的一点,那么接下来的路径肯定都在s-t上了,而且终点为s或t,在1中已经证明过了

    所以现在又有两种情况了:

    1:u走到了s-t路径上的某点,假设为X,最后肯定走到某个端点,假设是t ,则路径总长度为dis(u,X)+dis(X,t)

    2:u走到最远点的路径u-T与s-t无交点,则dis(u-T) >dis(u,X)+dis(X,t);显然,如果这个式子成立,

    则dis(u,T)+dis(s,X)+dis(u,X)>dis(s,X)+dis(X,t)=dis(s,t)最长路不是s-t矛盾

    附上一张第二种情况的图

     

   

posted @ 2012-04-08 11:02 Because Of You Views(...) Comments(...) Edit 收藏