P2141 [NOIP 2014 普及组] 珠心算测验

简易题解

题目大意

给定一个包含 \(n\) 个互不相同的正整数的集合。我们需要找出这个集合中有多少个数字，恰好等于集合中另外两个不同数字的和。

思路分析

题目要求我们找出满足 A = B + C 形式的数字 A，其中 A, B, C 都是给定集合中的数字，并且 B 和 C 必须是不同的数字。

由于 \(n\) 的范围较小（\(3 \le n \le 100\)），且集合中的正整数大小不超过 \(10,000\)，我们可以采用比较直接的暴力枚举方法来解决。

具体步骤如下：

1. 存储和快速查找： 为了方便查找一个数是否存在于集合中，我们可以使用一个布尔数组（或者整型数组作为布尔标记）来标记集合中的所有数。由于数的大小不超过 \(10,000\)，我们可以创建一个大小约 \(10,001\) 的布尔数组 exists，将 exists[x] 设为 true（或 1）表示数 x 存在于集合中。

   • 在读取输入的 \(n\) 个正整数时，将它们存入一个数组 a 的同时，也将 exists[a[i]] 标记为 true。

2. 枚举所有可能的和： 遍历集合中所有的数字对 (a[i], a[j])，计算它们的和 sum = a[i] + a[j]。

   • 为了确保 B 和 C 是不同的数，我们让外层循环变量 i 从 \(1\) 到 \(n\)，内层循环变量 j 从 i+1 到 \(n\)。这样可以保证 a[i] 和 a[j] 总是集合中两个不同的数，并且不会重复计算 a[i]+a[j] 和 a[j]+a[i]。

3. 检查和是否在集合中： 对于计算出的每一个和 sum：

   • 检查 exists[sum] 是否为 true。如果为 true，则说明 sum 这个数字也存在于原始集合中。
   • 此时，sum 就是一个满足条件的数字。

4. 去重统计： 题目要求的是“有多少个数，恰好等于集合中另外两个（不同的）数之和”。这意味着如果同一个数 X 可以通过不同的组合 (B1+C1) 和 (B2+C2) 得到，它也只算作一个满足条件的数。

   • 为了避免重复统计同一个满足条件的和，当我们发现 sum 满足条件时，应该立即将其从 exists 标记中去除（例如，将 exists[sum] 设为 false 或 0），这样即使后面有其他组合也得到了 sum，也不会再次增加计数器。
   • 每次找到一个满足条件的 sum 并且它还未被统计过时，就将计数器 ans 加 \(1\)。

示例说明

输入：
4
1 2 3 4

1. 初始化： a = [?, 1, 2, 3, 4] (这里数组从1开始)， b 数组标记 b[1]=1, b[2]=1, b[3]=1, b[4]=1。
2. 枚举：
   • i=1, j=2: a[1]=1, a[2]=2. sum = 1+2 = 3. b[3] 是 1。ans 加 \(1\) 变为 1。并将 b[3] 设为 0 (防止重复统计)。
   • i=1, j=3: a[1]=1, a[3]=3. sum = 1+3 = 4. b[4] 是 1。ans 加 \(1\) 变为 2。并将 b[4] 设为 0。
   • i=1, j=4: a[1]=1, a[4]=4. sum = 1+4 = 5. b[5] 是 0。不满足。
   • i=2, j=3: a[2]=2, a[3]=3. sum = 2+3 = 5. b[5] 是 0。不满足。
   • i=2, j=4: a[2]=2, a[4]=4. sum = 2+4 = 6. b[6] 是 0。不满足。
   • i=3, j=4: a[3]=3, a[4]=4. sum = 3+4 = 7. b[7] 是 0。不满足。

最终答案 ans = 2。

代码注释

#include<bits/stdc++.h> // 包含所有标准库，方便快速编程
using namespace std; // 使用标准命名空间

int a[105]; // 定义一个大小为105的整型数组a，用于存储输入的n个正整数。
            // 题目中n最大为100，所以105足够。
int b[20005]; // 定义一个大小为20005的整型数组b。
              // b[x] = 1 表示数字x在原始集合中出现过，b[x] = 0 表示未出现或已被统计。
              // 集合中的正整数最大10000，两数之和最大约20000 (9999+9998)，所以20005足够。

int main()
{
	int n; // 定义整型变量n，表示输入的正整数个数。
	cin>>n; // 从标准输入读取n的值。
	
    // 读取n个正整数，并将其存储在数组a中，同时在数组b中标记它们的存在。
	for(int i=1;i<=n;i++) // 循环n次，从a[1]到a[n]存储。
	{
		cin>>a[i]; // 读取第i个正整数。
		b[a[i]]=1; // 将数组b中对应a[i]的索引位置设为1，表示a[i]这个数存在于集合中。
	}
	
	int ans=0; // 定义一个整型变量ans，用于存储最终的答案（满足条件的数的个数），初始化为0。
	
    // 外层循环，枚举第一个加数a[i]
	for(int i=1;i<=n;i++) 
    {
        // 内层循环，枚举第二个加数a[j]。j从i+1开始，保证a[i]和a[j]是集合中不同的两个数，
        // 且避免重复计算a[i]+a[j]和a[j]+a[i]。
		for(int j=i+1;j<=n;j++) 
		{
            // 检查它们的和 a[i]+a[j] 是否在原始集合中，并且该和还没有被统计过。
            // b[a[i]+a[j]] == 1 表示和存在于集合中且未被计入答案。
			if(b[a[i]+a[j]]==1) 
			{
				ans++; // 如果满足条件，则答案加1。
				b[a[i]+a[j]]=0; // 将这个和在b数组中的标记设为0，表示它已经被统计过了，防止重复计数。
			}
		}
    }
    
	cout<<ans<<endl; // 输出最终的答案。
	return 0; // 程序正常结束。
}