bzoj2005[Noi2010]能量采集

Description
栋栋有一块长方形的地,他在地上种了一种能量植物,这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后,
栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。 栋栋的植物种得非常整齐,一共有n列,每列
有m棵,植物的横竖间距都一样,因此对于每一棵植物,栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示,其中x的范围是1至n,
表示是在第x列,y的范围是1至m,表示是在第x列的第y棵。 由于能量汇集机器较大,不便移动,栋栋将它放在了
一个角上,坐标正好是(0, 0)。 能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器
连接而成的线段上有k棵植物,则能量的损失为2k + 1。例如,当能量汇集机器收集坐标为(2, 4)的植物时,由于
连接线段上存在一棵植物(1, 2),会产生3的能量损失。注意,如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植
物,则能量损失为1。现在要计算总的能量损失。 下面给出了一个能量采集的例子,其中n = 5,m = 4,一共有20
棵植物,在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。 在这个例子中,总共产生了36的能
量损失。

Input
仅包含一行,为两个整数n和m。
Output
仅包含一个整数,表示总共产生的能量损失。

Sample Input
【样例输入1】
5 4
【样例输入2】
3 4

Sample Output
【样例输出1】
36
【样例输出2】
20

对于100%的数据:1 ≤ n, m ≤ 100,000

分析:
看了网上蛮多的解题报告
觉得只有自己写才能说清楚:
首先我们需要知道一个知识,
对于坐标系第一象限任意的整点p(n,m),
其与原点O(0,0)的连线上除过原点整点的个数为gcd(n,m)
其他象限上个数则为gcd(abs(n),abs(m))

证明:
考虑在op上最小的一个整点(x,y)(这里的最小是指横纵坐标绝对值最小)
x与y必然满足gcd(x,y)=1,即x与y互质
因为若不互质的话,将x与y均除去他们的公约数后可以产生一个更小的整点
则显然有(kx,ky){x<=kx<=n,k属于正整数}也在线段op上,而且这些点也是op上全部的整点,
显然这些点的个数等于最大的那个k
则显然k=gcd(n,m),证明完毕。

所以题目转化成:
Sigma(2*gcd(i,j){1<=i<=n,1<=j<=m})+mn -2mn =Sigma( 2*gcd(i,j){1<=i<=n,1<=j<=m} )-mn
这个 -2mn 是因为
针对每一个数对(i,j),都多加了1(本身,题目表示了)
整个矩阵一共有mn个点,前面又有一个2*,所以我们要把这一部分减去

则现在我们只需要求出每一个gcd(n,m)即可,然而直接枚举时间是O(n^2)不够优秀
所以我们考虑能不能优化一下
我们构建一个数组f,f[i]表示gcd=i的有序数对的个数(i<=min(n,m))
那么Sigma 2*gcd(n,m) => Sigma 2*(i*f[i])

那f[i]要怎么求呢
若i是数对(x,y)的约数,显然f[i]=(n/i)*(m/i)
但i并不是最大约数啊,不过处理方法很简单,考虑到这些当前的数对可能存在比i更大的公约数为2i,3i,4i…ki(ki<=min(m,n)),
只需将这些数对删去即可,按照从大到小的顺序求num[i]即可
f[i]=(n/i)*(m/i)-Sigma(num[ki]) , 1<=ki<=min(n,m)

深刻理解了之后,就一A啦
注意开long long

这里写代码片
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#define ll long long

using namespace std;

const ll N=100001;
ll n,m;
ll f[N];

int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    ll i,j,ans=0;
    for (i=min(n,m);i>=1;i--)
    {
        f[i]=(n/i)*(m/i);
        for (j=2;i*j<=min(n,m);j++)  //去除最大公约数不是i的数对 
           f[i]-=f[i*j];
        ans=ans+f[i]*2*i;
    }
    ans-=(n*m);
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}
posted @ 2017-06-19 20:06  wtt3117  阅读(...)  评论(...编辑  收藏