bzoj3122 [Sdoi2013]随机数生成器(bsgs+扩欧+数列)

Description
这里写图片描述

Input

输入含有多组数据,第一行一个正整数T,表示这个测试点内的数据组数。

接下来T行,每行有五个整数p,a,b,X1,t,表示一组数据。保证X1和t都是合法的页码。

注意:P一定为质数

Output

共T行,每行一个整数表示他最早读到第t页是哪一天。如果他永远不会读到第t页,输出-1。

Sample Input
3
7 1 1 3 3
7 2 2 2 0
7 2 2 2 1

Sample Output
1
3
-1

HINT
0<=a<=P-1,0<=b<=P-1,2<=P<=10^9

分析:
刚刚学了数列,看到这道题就不那么难受了

X[i+1]=(aX[i]+b)mod p
X[i+1]+u=a(X[i]+u)
(a-1)u=b
u=b/(a-1)
X[i+1]+u=(X[1]+u)*a^i
a^i=(X[i+1]+u)/(X[1]+u) (mod p)
已知X[i+1]
实际上就是
x^i=z (mod p),求解最小i

最后答案就是i+1

然而这只适用于a!=1的情况

当a==1的时候
这就是一个等差数列了
X[i+1]=X[1]+b*i
X[i+1]-X[1]=b*i
设x=i,z=X[i+1]-X[1]
式子就可以化简成
b*i=z (mod p)
b*i+k*p=z
我们先用扩欧求解b*i+k*p=1
最后把答案*z+1就可以了

注意

如果z不是gcd(b,p)的倍数,那么无解

一开始我的算法是:
i=(X[i+1]-X[1])*inv(b)
但是这样秒WA,我觉得一概是无法判断无解导致的

注意:p一定为质数
这样求逆元就可以用费马小定理了

tip

注意特殊情况的特判
x1==t,ans=1
a==0&&b==t,ans=2
a==0&&b!=t,ans=-1

一直连WA,最后才发现是主程序的问题
一个输出后忘了回车!!!

这里写代码片
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<map>
#include<cmath>
#define ll long long

using namespace std;

map<ll,int> mp;
ll p,z,t,x1,a,b,x,y;

ll gcd(ll a,ll b)
{
    ll r=a%b;
    while (r)
    {
        a=b;b=r;
        r=a%b;
    }
    return b;
}

ll KSM(ll a,ll b,ll p)
{
    a%=p;
    ll t=1;
    while (b)
    {
        if (b&1)
           t=(t%p*a%p)%p;
        b>>=1;
        a=(a%p*a%p)%p;
    }
    return t%p;
}

int bsgs(ll x,ll z,ll p)
{
    mp.clear();
    x%=p; z%=p;
    if (x==0&&z==0) return 2;
    if (x==0) return -1;
    ll m=(ll)ceil(sqrt((double)p)),now=1;
    mp[1]=m+1;
    for (int i=1;i<m;i++)
    {
        now=(now%p*x%p)%p;
        if (!mp[now]) mp[now]=i;
    }
    ll inv=1,tmp=KSM(x,p-m-1,p);
    for (int k=0;k<m;k++)
    {
        int i=mp[(z%p*inv%p)%p];
        if (i)
        {
            if (i==m+1) i=0;
            return k*m+i+1;
        }
        inv=(inv%p*tmp%p)%p;
    }
    return -1;
}

void exgcd(ll a,ll b)
{
    if (b==0)
    {
        x=1; y=0;
        return;
    }
    else
    {
        exgcd(b,a%b);
        int tt=y;
        y=x-(a/b)*y;
        x=tt;
    }
}

ll inv(ll a,ll p)
{
    return KSM(a,p-2,p);
}

int main()
{
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while (T--)
    {
        scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&p,&a,&b,&x1,&t);
        if (x1==t)
        {
            printf("1\n");continue;
        } 
        else if (a==0)
        {
            if (b==t) printf("2\n");
            else printf("-1\n");
            continue;
        }
        else if (a==1)   //等差数列 
        {
            z=((t-x1)%p+p)%p;
            if (z%gcd(b,p)!=0)
            {
                printf("-1\n");
                continue;
            }
            exgcd(b,p);
            x=(x%p*z%p)%p;
            printf("%lld\n",(x%p+p)%p+1);
        }
        else   //等比 
        {
            ll u=(b%p*inv(a-1,p)%p)%p;   //u=b/(a-1)
            t=(t%p+u%p)%p;  
            x1=(x1%p+u%p)%p;
            z=(t%p*inv(x1,p)%p)%p;   //(X[i+1]+u)/(X[1]+u)
            printf("%d\n",bsgs(a,z,p));
        }
    }
    return 0;
}
posted @ 2017-09-13 18:39  wtt3117  阅读(113)  评论(0编辑  收藏  举报