bzoj3229 [Sdoi2008]石子合并(非dp的GarsiaWachs算法)

Description

  在一个操场上摆放着一排N堆石子。现要将石子有次序地合并成一堆。规定每次只能选相邻的2堆石子合并成新的一堆,并将新的一堆石子数记为该次合并的得分。
  试设计一个算法,计算出将N堆石子合并成一堆的最小得分。

Input

  第一行是一个数N。
  以下N行每行一个数A,表示石子数目。

Output

  共一个数,即N堆石子合并成一堆的最小得分。

Sample Input
4
1
1
1
1

Sample Output
8

HINT
对于 100% 的数据,1≤N≤40000
对于 100% 的数据,1≤A≤200

分析:
我第一眼以为就是一个简单的dp
还在怀疑十年前的sdoi竟然这么简单
然而,当我看到了n<=40000
朴素的n^3肯定是不行了
看这个数据范围,起码要nlogn

此题如果数据范围是100,就是一道基础的动态规划题
但是数据范围到了40000,就是一道比较难的题了

这里引入GarsiaWachs算法

主要过程是这样的:
从左往右找,找到第一个k,使得a[k-1]<=a[k+1],我们把这两堆石子合并,把代价加在sum上
然后从k往左找,找到第一个j,使得a[j]>合并后的石头,把合并后的石头放在a[j]后
合并n-1次后,sum就是合并n堆石子的最小代价

之下是网上不错的讲解:
GarsiaWachs算法可以把时间复杂度压缩到O(nlogn)。
具体的算法及证明可以参见《The Art of Computer Programming》第3卷6.2.2节Algorithm G和Lemma W,Lemma X,Lemma Y,Lemma Z

算法概要:

设一个序列是A[0..n-1],每次寻找最小的一个满足A[k-1]<=A[k+1]的k,
(方便起见设A[-1]和A[n]等于正无穷大)
那么我们就把A[k]与A[k-1]合并,之后向前找到第一个满足A[j]>A[k]+A[k-1]的j,
把合并后的值A[k]+A[k-1]插入A[j]的后面
有定理保证,如此操作后问题的答案不会改变

举个例子:
186 64 35 32 103
因为35<103,所以最小的k是3,我们先把35和32删除,得到他们的和67,并向前寻找一个第一个超过67的数,把67插入到他后面
186 64(k=3,A[3]与A[2]都被删除了) 103
186 67(遇到了从右向左第一个比67大的数,我们把67插入到他后面) 64 103
186 67 64 103 (有定理保证这个序列的答案加上67就等于原序列的答案)
现在由5个数变为4个数了,继续!
186 (k=2,67和64被删除了)103
186 131(就插入在这里) 103
186 131 103
现在k=2(别忘了,设A[-1]和A[n]等于正无穷大)
234 186
420
最后的答案就是各次合并的重量之和:420+234+131+67=852

证明嘛,基本思想是通过树的最优性得到一个节点间深度的约束,之后
证明操作一次之后的解可以和原来的解一一对应,并保证节点移动之后他所在的
深度不会改变。详见TAOCP。

解题思路:

(这是从网上扒下来的一个关于GarsiaWachs算法的解释)

  1. 这类题目一开始想到是DP, 设dp[i][j]表示第i堆石子到第j堆石子合并最小得分.
    状态方程: dp[i][j] = min(dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1]);
    sum[i]表示第1到第i堆石子总和. 递归记忆化搜索即可.

  2. 不过此题有些不一样, 1<=n<=40000范围特大

问题分析:

(1). 假设我们只对3堆石子a,b,c进行比较, 先合并哪2堆, 使得得分最小.
score1 = (a+b) + ( (a+b)+c )
score2 = (b+c) + ( (b+c)+a )
再次加上score1 <= score2, 化简得: a <= c, 可以得出只要a和c的关系确定,
合并的顺序也确定.

(2). GarsiaWachs算法, 就是基于(1)的结论实现.找出序列中满足stone[i-1] <=
stone[i+1]最小的i, 合并temp = stone[i]+stone[i-1], 接着往前面找是否
有满足stone[j] > temp, 把temp值插入stone[j]的后面(数组的右边). 循环
这个过程一直到只剩下一堆石子结束.

(3). 为什么要将temp插入stone[j]的后面, 可以理解为(1)的情况
从stone[j+1]到stone[i-2]看成一个整体 stone[mid],
现在stone[j],stone[mid], temp(stone[i-1]+stone[i-1]),
因为temp < stone[j],
因此不管怎样都是stone[mid]和temp先合并, 所以讲temp值插入stone[j]的后面是不影响结果.

tip

我在这里用的模拟链表,链接的时候一定要注意

这里写代码片
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>

using namespace std;

const int INF=0x33333333;
const int N=50000;
int t[N][2],a[N],ans=0;
int n;

void doit()
{
    int i,j,k;
    for (i=1;i<n;i++)
    {
        j=t[0][1];
        int fro=t[j][0],beh=t[j][1];
        while (a[fro]>a[beh])
        {
            j=beh;
            fro=t[j][0];
            beh=t[j][1];
        }
        int tt=a[j]+a[fro];
        ans+=tt;
        a[j]=tt;
        t[t[fro][0]][1]=t[j][1]; t[t[j][1]][0]=t[fro][0];  //del
        k=t[fro][0];
        while (a[k]<=tt)
            k=t[k][0];
        t[j][1]=t[k][1]; t[t[k][1]][0]=j;  //insert
        t[j][0]=k; t[k][1]=j;
    }
    printf("%d",ans);
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]),t[i][0]=i-1,t[i][1]=i+1;
    a[0]=INF; a[n+1]=INF;
    t[0][1]=1; t[n+1][0]=n;
    doit();
    return 0;
}
posted @ 2017-09-17 17:09  wtt3117  阅读(66)  评论(0编辑  收藏