[HNOI2009]【一本通提高组合数学】有趣的数列

[HNOI2009]有趣的数列

题目描述

我们称一个长度为 $2n$ 的数列是有趣的，当且仅当该数列满足以下三个条件：

• 它是从 $1\sim 2n$ 共 $2n$ 个整数的一个排列 $\{a_n{\}}_{n=1}^{2n}$；

• 所有的奇数项满足 $a_1<a_3<\cdots <a_{2n-1}$，所有的偶数项满足 $a_2<a_4<\cdots <a_{2n}$；

• 任意相邻的两项 $a_{2i-1}$ 与 $a_{2i}$ 满足：$a_{2i-1}<a_{2i}$。

对于给定的 $n$，请求出有多少个不同的长度为 $2n$ 的有趣的数列。
因为最后的答案可能很大，所以只要求输出答案对 $p$ 取模。

输入格式

一行两个正整数 $n,p$

输出格式

输出一行一个整数表示答案。

输入输出样例

样例输入1

3 10

样例输出1

5

说明/提示

【数据范围】
对于 $50\%$ 的数据，$1\le n\le 1000$；
对于 $100\%$ 的数据，$1\le n\le 10^6$，$1\le p\le 10^9$。

【样例解释】
对应的5个有趣的数列分别为（1,2,3,4,5,6），（1,2,3,5,4,6），（1,3,2,4,5,6），（1,3,2,5,4,6），（1,4,2,5,3,6）。

Code

#include <bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;
LL n, p, ans = 1, k;
int vis[2000005];

LL qmi(LL a, LL b, LL p)
{
	LL res = 1;
	while (b)
	{
		if (b & 1)
			res = res * a % p;
		a = a * a % p;
		b >>= 1;
	}
	return res;
}

void c(LL x, LL p, LL f)
{
	while (x)
		k += f * x / p, x /= p;
}

int main()
{
	cin >> n >> p;
	for (LL i(2); i <= 2 * n; ++i)
	{
		if (vis[i])
			continue;
		k = 0;
		c(2 * n, i, 1);
		c(n + 1, i, -1);
		c(n, i, -1);
		ans = ans * qmi(i, k, p) % p;
		for (LL j(2 * i); j <= 2 * n; j += i)
			vis[j] = 1;
	}
	cout << ans;
	return 0;
}

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