高数基础知识整理7.渐近线与曲率

七、渐近线与曲率

1、渐近线

如果存在直线L:y=kx+b，使得当x→∞(或x→+∞，x→-∞)时，曲线y=f(x)上的动点M(x,y)到直线L的距离d(M,L)→0，则称L为曲线y=f(x)的渐近线。

• 斜渐近线

  \[\lim\limits_{x→±∞}\frac{f(x)}{x}=k≠0，b=\lim\limits_{x→±∞}[f(x)-kx] \]

  则y=kx+b是y=f(x)的斜渐近线。

• 水平渐近线

  \[\lim\limits_{x→±∞}f(x)=b \]

  则y=b是y=f(x)的水平渐近线。

• 垂直渐近线(找间断点)

  \[\lim\limits_{x→x_0}f(x)=∞ \]

  则x=x₀是y=f(x)的垂直渐近线。

这里需要注意：有水平可能有斜，如：x→-∞有水平则无斜，x→+∞无水平则考虑斜

2、曲率

• 弧微分公式

  \[\mathrm{d}s=\sqrt{1+f'^2(x)}\mathrm{d}x \]

• 曲率
  

• 曲率半径

  \[R=\frac{1}{K}，(k≠0) \]