替罪羊树学习笔记

做法

简单来说，这东西就是一个平衡树，大多数时候平衡树需要旋转，但是替罪羊树不需要

它是通过不断重构维持平衡，就是当左右子树的节点数差异过大的时候，拍平重新建

所以这里涉及一个判断操作，就是什么情况下重构，和 K-D tree 一样，如果太大，就会失衡，太小，太频繁，不优

这样的话，插入和普通平衡树一样，但是插入完成后要判断是否符合要求，不符合重构

至于拍平，暴力 dfs 即可

对于删除，这里不能暴力删，而是先标记，在重构的时候删掉

例题：

普通平衡树

其实是四个操作，加点，删点，查排名，查值

因为写法区别，如果不将相同的数字合并，删除时应按排名删除

#include<cstdio>
using namespace std;
const double alpha=0.7;
int q,tot,cnt,rt;
struct tree{
	int ls,rs,siz,val,v;
}tr[200005];
int id[200005];
void pushup(int p)
{
	tr[p].siz=tr[tr[p].ls].siz+tr[tr[p].rs].siz+tr[p].v;
}
void build(int &p,int l,int r)
{
	p=0;
	if(l>r) return;
	int mid=(l+r)>>1;
	p=id[mid],tr[p].siz=tr[p].v=1;
	build(tr[p].ls,l,mid-1);
	build(tr[p].rs,mid+1,r);
	pushup(p);
}
void dfs(int p)
{
	if(!p) return;
	dfs(tr[p].ls);
	if(tr[p].v) id[++cnt]=p;
	dfs(tr[p].rs);
}
void rebuild(int &p)
{
	cnt=0;
	dfs(p);
	build(p,1,cnt);
}
void insert(int &p,int k)
{
	if(!p)
	{
		p=++tot;
		tr[p].siz=tr[p].v=1;
		tr[p].val=k;
		return;
	}
	if(k<tr[p].val)
	{
		insert(tr[p].ls,k);
	}
	else
	{
		insert(tr[p].rs,k);
	}
	if(tr[p].siz*alpha<=tr[tr[p].ls].siz||tr[p].siz*alpha<=tr[tr[p].rs].siz) rebuild(p);
	pushup(p);
}
void del(int &p,int k)
{
	if(tr[p].v&&k==tr[tr[p].ls].siz+1)
	{
		tr[p].siz--,tr[p].v=0;
		return;
	}
	if(k<=tr[tr[p].ls].siz)
	{
		del(tr[p].ls,k);
	}
	else
	{
		del(tr[p].rs,k-tr[tr[p].ls].siz-tr[p].v);
	}
	if(tr[p].siz*alpha<=tr[tr[p].ls].siz||tr[p].siz*alpha<=tr[tr[p].rs].siz) rebuild(p);
	pushup(p);
}
int getrnk(int p,int x)
{
	if(!p) return 0;
	if(tr[p].val<x)
	{
		return tr[tr[p].ls].siz+tr[p].v+getrnk(tr[p].rs,x);
	}
	else
	{
		return getrnk(tr[p].ls,x);
	}
}
int getval(int p,int k)
{
	if(tr[p].v&&tr[tr[p].ls].siz+1==k) return tr[p].val;
	if(tr[tr[p].ls].siz<k) return getval(tr[p].rs,k-tr[tr[p].ls].siz-tr[p].v);
	else return getval(tr[p].ls,k);
}
int main()
{
//	freopen("1.txt","r",stdin);
	scanf("%d",&q);
	while(q--)
	{
		int opt,x;
		scanf("%d%d",&opt,&x);
		if(opt==1)
		{
			insert(rt,x);
		}
		if(opt==2)
		{
			del(rt,getrnk(rt,x)+1);
		}
		if(opt==3)
		{
			printf("%d\n",getrnk(rt,x)+1);
		}
		if(opt==4)
		{
			printf("%d\n",getval(rt,x));
		}
		if(opt==5)
		{
			printf("%d\n",getval(rt,getrnk(rt,x)));
		}
		if(opt==6)
		{
			printf("%d\n",getval(rt,getrnk(rt,x+1)+1));
		}
	}
	return 0;
}

没有人的算术

https://www.gxyzoj.com/d/gxyznoi/p/P169

如果将所有的数都编号，那么就可以直接在线段树上更新或判断了

因为要不断的插入并维护大小关系，考虑平衡树

可以记录上下界 l,r，每次根的值为 \(mid=\frac{l+r}{2}\)，左子树上界和右子树下界为 mid

但是如果进行旋转，所有值都要变，所以可以使用替罪羊树

因为是合并，所以左右的数都可以用替罪羊树的一个节点表示，而所有节点除 \((0,0)\) 外都能用两个存在且排好序的节点表示

所以就可以依次比较插入