函数或曲线恒过定点
函数或者曲线恒过定点的问题，常常是解题中的一小块内容，但是不突破这个，会制约整个题目的求解。
前言
函数或曲线恒过定点问题，在高中数学中很常见，也很容易被忽视，如果函数或曲线恒过定点这个隐含条件使用的好，能大大方便我们的解题。
低阶储备
在分析函数恒过定点的问题时，即可以从形的角度[做函数图像+图像变换]来思考，当然更可以从数的角度[直接计算]来思考；一般来说，一个数的问题，往往有与之相应的形的问题和其对应；自然，一个形的问题，往往有与之相应的数的问题和其对应。以下主要从数的角度来计算说明；
①一次函数\(y=kx+1\)恒过定点\((0，1)\)，由于\(x=0\)时，不论\(k\)为何值，都有\(y=1\)，故其恒过定点\((0，1)\)；
同理，一次函数\(y=k(x-1)+3\)恒过定点\((1，3)\)， 由于\(x-1=0\)时，即\(x=1\)时，不论\(k\)为何值，都有\(y=3\)，故其恒过定点\((1，3)\)；
正因为这样，当直线经过点\((0,1)\)时，我们常常设其解析式为\(y=kx+1\)，当直线经过点\((1,0)\)时，我们常常设其解析式为\(x=ky+1\)；
[补充]函数\(y=(m-1)x+m\)，恒过定点\((-1,1)\)问题：在具体题目中如何观察确定直线所恒过的定点，采用尝试法，即分别用\(x=0\)，\(x=\pm 1\)，\(x=\pm 2\)，\(\cdots\)\(\quad\)，
②指数函数\(y=a^x(a>0，a\neq 1)\)恒过定点\((0,1)\)，理由：当\(x=0\)时，不论\(a\)为何值，都有\(y=a^0=1\)，故其恒过定点\((0,1)\)；
同理，指数型函数\(y=a^{x-2}(a>0，a\neq 1)\)恒过定点\((2,1)\)，理由：当\(x-2=0\)时，即\(x=2\)时，不论\(a\)为何值，都有\(y=a^0=1\)，故其恒过定点\((2,1)\)；
指数型函数\(y=2^{x-a}+2\)恒过定点\((a，3)\)，理由：当\(x-a=0\)时，即\(x=a\)时，都有\(y=2^0+2=3\)，故其恒过定点\((a,3)\)；
但是注意：指数型函数\(y=a\cdot e^x(a>0)\)并不恒过定点\((0，1)\)，而是恒过动点\((0，a)\)；
指数型函数\(y=e^{x}+e^{-x}\)恒过定点\((0，2)\)，则指数型函数\(y=e^{x-2}+e^{2-x}\)恒过定点\((2，2)\)；
指数型函数\(y=e^{x}-e^{-x}\)恒过定点\((0，0)\)，则指数型函数\(y=e^{x+1}-e^{-1-x}\)恒过定点\((-1，0)\)；
③对数函数\(y=log_ax(a>0，a\neq 1)\)恒过定点\((1，0)\)，理由：当\(x=1\)时，都有\(y=log_a1=0\)，故其恒过定点\((1,0)\)；
同理，对数型函数\(y=log_2{(x-b)}\)恒过定点\((b+1，0)\)，理由：当\(x-b=1\)时，即\(x=b+1\)时，都有\(y=log_21=0\)，故其恒过定点\((b+1,0)\)；
④绝对值型函数\(y=a\cdot |x|(a\neq 0)\)恒过定点\((0，0)\)；\(y=a\cdot |x-2|(a\neq 0)\)恒过定点\((2，0)\)；\(y=a\cdot |x-2|+1(a\neq 0)\)恒过定点\((2，1)\)；其中\(a\)的作用会改变张角的方向和大小；
⑤二次函数\(y=a\cdot x^2(a\neq 0)\)恒过定点\((0，0)\)；二次函数\(y=a\cdot x^2+1(a\neq 0)\)恒过定点\((1，0)\)；其中\(a\)的作用会改变抛物线的开口方向和张角大小。
⑥若抽象函数\(y=f(x-1)+3\)过定点\((2，4)\)，则抽象函数\(y=f(x)\)过定点\((1，1)\)；理由：由\(f(2-1)+3=4\)，即可得到\(f(1)=1\)，故\(y=f(x)\)过定点\((1，1)\)；
同理，若函数\(y=f(x)\)过定点\((2，4)\)，则函数\(y=f(x-1)+3\)过定点\((3，7)\)；理由：由\(f(2)=4\)，则可知\(f(3-1)+3=7\)，即函数\(y=f(x-1)+3\)过定点\((3，7)\)；
⑦ 二次函数 \(y=a(x-1)(x-b)\)，恒过定点\((1,0)\)；
中阶储备
①共点直线系方程；比如求解直线\(ax+y-3ay-1=0\)所过的定点坐标；
分析：将其整理为共点直线系方程形式：\(a(x-3y)+y-1=0\)，
则直线\(ax+y-3ay-1=0\)一定经过直线\(x-3y=0\)和直线\(y-1=0\)的交点；
由\(\left\{\begin{array}{l}x-3y=0\\y-1=0\end{array}\right.\)，解得\(\left\{\begin{array}{l}x=3\\y=1\end{array}\right.\),
则直线\(ax+y-3ay-1=0\)所过的定点坐标为\((3,1)\).
②过定点和动点的抛物线族；
比如，函数\(f(x)=(2x-2)(x-a)\)，则抛物线一定经过定点\((1,0)\)和动点\((a,0)\)；
③已知曲线\(F_1(x，y)=0\)，\(F_2(x，y)=0\)相交于点\((x_0，y_0)\)，则曲线\(F_1(x，y)+\lambda\cdot F_2(x，y)=0\)必经过点\((x_0，y_0)\)，
证明：由于曲线\(F_1(x，y)=0\)，\(F_2(x，y)=0\)相交于点\((x_0，y_0)\)，则其必然满足\(F_1(x_0，y_0)=0\)，\(F_2(x_0，y_0)=0\)，
则\(F_1(x_0，y_0)+\lambda\cdot F_2(x_0，y_0)=0+\lambda\times 0=0\)，故曲线\(F_1(x，y)+\lambda\cdot F_2(x，y)=0\)必经过点\((x_0，y_0)\)，
④若曲线\(F_1(x，y)+\lambda\cdot F_2(x，y)=0\)必经过点\((x_0，y_0)\)，则定点坐标由方程组\(\begin{cases}F_1(x，y)=0\\F_2(x，y)=0\end{cases}\)求解得到。
⑤圆锥曲线的焦点弦？待思考。
⑥证明直线经过某个定点(2,1)，则直线的方程一定可以转化为形如\(y-1=m(x-2)\)的形式，\(m\)一般为题目中给定的参变量。
高阶储备
函数与导数题型中的函数恒过定点问题，更值得学有余力的同学关注，因为题目中的函数往往是我们自己主动变形后构造的，等吃力的构造好函数，我们一般也就没有精力注意恒过定点问题了。其实此时涉及到的函数往往是上述的简单函数的代数和，而且大多情形下，参与代数和的几个函数都是零点相同的，比如函数\(g(x)=lnx+1-x\)，我们可以认为其由函数\(y_1=lnx\)和函数\(y_2=1-x\)相加得到，两个子函数的零点都是\(x=1\)，故我们应该很容易看出来\(g(1)=0\)；
- 再比如函数\(g(x)=ln(x-1)+2-x\)，我们应该看出来\(g(2)=0\)；
- 再比如已知\(\lambda(x-1)-2lnx \ge 0\)对任意\(x\in(0，1]\)恒成立，若令\(h(x)=\lambda(x-1)-2lnx\)，你就应该看出来\(h(1)=0\)；
- 再比如函数\(h(t)=2e^{t-\frac{1}{2}}-\cfrac{1}{t}\)，则\(h(\cfrac{1}{2})=0\)；
- 再比如函数\(f(x)=e^{x-1}-lnx-1\)，则有\(f(1)=0\)；
- 再比如函数\(f(x)=2x+1+e^{x+1}\)，则有\(f(-1)=0\)；
- 再比如函数\(g(x)=16x^3+\log_2{(\cfrac{1}{2}x)}\)，则有\(g(\cfrac{1}{2})=0\)；
典例剖析
法1：从数的角度思考分析，类比\(y=kx+1\)恒过定点\((0，1)\)的方法思路，令\(y=0\)，得到\(x^2=1\)，故上述曲线恒过定点\((\pm 1，0)\);
法2：从形的角度思考分析，变形得到\(\cfrac{x^2}{1}+\cfrac{y^2}{\frac{1}{\lambda}}=1\)，用动态的观点思考，当\(\lambda\)变化时，椭圆或者双曲线与\(x\)轴的交点坐标\((-1，0)\)和\((1，0)\)始终不变，故曲线恒过定点\((\pm 1，0)\);
法1：从形入手分析，将函数\(y\)\(=\)\(f(x)\)的图像关于\(y\)轴对称得到函数\(y\)\(=\)\(f(-x)\)，故\(y\)\(=\)\(f(-x)\)一定经过点\((-1,1)\)，再将函数\(y\)\(=\)\(f(-x)\)的图像向右平移\(4\)个单位，得到函数\(y\)\(=\)\(f(4-x)\)的图像，故函数\(y\)\(=\)\(f(4-x)\)的图像一定经过点\((3,1)\).
法2：从数入手分析，由题目可知，\(f(1)\)\(=\)\(1\)，故对函数\(y\)\(=\)\(f(4-x)\)而言，令\(x\)\(=\)\(3\)，则有\(f(4-3)\)\(=\)\(f(1)\)\(=\)\(1\)，故函数\(y\)\(=\)\(f(4-x)\)的图像一定经过点\((3,1)\).
解析： 由 \(g(x)=(2a-1)x^{a+1}\) 为幂函数， 得 \(2a-1=1\)， 解得 \(a=1\)， 所以 \(g(x)=x^{2}\)，
又函数 \(f(x)=m^{x-b}-\cfrac{1}{2}\) (\(m>0\), 且 \(m \neq 1)\)， 当 \(x=b\) 时， \(f(b)=m^{b-b}-\cfrac{1}{2}=\cfrac{1}{2}\)，
故 \(f(x)\) 的图象所经过的定点为 \((b,\cfrac{1}{2})\)， 所以 \(g(b)=\cfrac{1}{2}\)， 即 \(b^{2}=\cfrac{1}{2}\), 解得 \(b=\pm\cfrac{\sqrt{2}}{2}\)， 故选 \(B\) .
