指数对数以及根式的运算

前言

• 学生的运算能力中尤其时涉及指数和对数的运算的功底比较弱，需要特别强化。

运算训练

• 1、各种不等式的解法；
• 2、不等式解法训练题；
• 3、分式不等式习题；

常用结论

\(log_ab\cdot log_ba=1\)；\((2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=1\)；\((\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=1\)；\(lg2+lg5=lg10=1\)；

指数运算

公式：\(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\)；\((a^m)^n=(a^n)^m=a^{mn}\)；\((a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n\)；

注意：字母\(a、b\)的内涵；数，式都可以，且\(m，n\in R\)；

• 应用层次一：为换元和化简做准备，常涉及复合函数的值域问题和数列的化简求值等。

$4^x=(2^2)^x=(2^x)^2$；

$9^{x-1}=(3^2)^{x-1}=(3^{x-1})^2$；

$2^x+2^x=2^{x+1}$；

$2^{x}-2^{x-1}=2^{x-1}$；

$2^{x+1}-2^x=2^x\cdot 2-2^x=2^x$；

$2^{x+1}+2^x=3\cdot 2^x$；

$4^n=(2^2)^n=(2^n)^2;$

$2^n+2^n=2^{n+1};$

$2^{n+1}-2^n=2^n;$

$2^{n}-2^{n-1}=2^{n-1}$；

$2^{n+1}+2^n=3\cdot 2^n$；

$2^{-(n+1)}\cdot 2=2^{-n}$；

$2^n\cdot 2^n=2^{2n}$；

$3^{n-1}-3^n=-2\cdot 3^{n-1}$；

$2^{n+1}÷2^n=2;$

$\frac{1}{2^n}+\frac{1}{2^{n+1}}=\frac{3}{2^{n+1}}$；

$3^{n-1}\cdot 3^n=3^{2n-1}$；

$2^{n+1}\cdot 2^n=2^{2n+1};$

\(2^{n+2}-(2n+1)\cdot 2^{n+1}=2\cdot 2^{n+1}-(2n+1)\cdot 2^{n+1}=(1-2n)\cdot 2^{n+1}\)

• 应用层次二：为整体换元和化简、计算做准备。

[初中]已知\(x+x^{-1}=3\)，求值：

$x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}}=\sqrt{5}$；

$x^{\frac{3}{2}}+x^{-\frac{3}{2}}=2\sqrt{5}$；

$x^2+x^{-2}=7$；

[令\(2^x\)\(+\)\(2^{-x}\)\(=\)\(t\)，则\(2^{2x}\)\(+\)\(2^{-2x}\)\(=\)\(t^2\)\(-\)\(2\)]

[初中]已知\(2^a=3\)，\(4^b=5\)，\(8^c=7\)，求\(8^{a+c-2b}\)的值；

法1：\(8^{a+c-2b}=\frac{8^a\cdot 8^c}{8^{2b}}=\frac{(2^a)^3\cdot 8^c}{2^{2b}\cdot (4^b)^2}=\frac{189}{125}\)；

法2：\(a=log_23\)，\(b=log_45\)，\(c=log_87\)，

则\(8^{a+c-2b}=\frac{8^a\cdot 8^c}{8^{2b}}=\frac{(2^3)^{log_23}\cdot 8^c}{(8^b)^2}=\frac{3^3\times 7}{[(2^3)^{\frac{1}{2}log_25}]^2}\)

\(=\frac{3^3\times 7}{2^{3log_25}}=\frac{27\times 7}{5^3}=\frac{189}{125}\)

极易出错

• \(\sqrt[3]{-3}\neq \sqrt[6]{(-3)^2}\)，\([(-2)^6]^{\frac{1}{2}}=(2^6)^{\frac{1}{2}}=2^3=8\)；
• 错误：\([(-2)^6]^{\frac{1}{2}}=(-2)^{6\times\frac{1}{2}}=(-2)^3=-8\)；

已知数列\(\{lg(a_n+\cfrac{1}{2})\}\)为首项为\(lg2\)，公比为\(2\)的等比数列；求数列\(\{a_n\}\)的通项公式；

分析：\(lg(a_n+\cfrac{1}{2})=lg2\cdot 2^{n-1}=2^{n-1}\cdot lg2\)

[说明：\(2^{n-1}\cdot lg2\neq lg2^n=n\cdot lg2\)，极易出错，对数运算的级别要高于乘法运算，故先计算对数，再计算乘法]

即\(lg(a_n+\frac{1}{2})=2^{n-1}\cdot lg2=lg2^{2^{n-1}}\)[极易出错]

则\(a_n+\frac{1}{2}=2^{2^{n-1}}\)，即\(a_n=2^{2^{n-1}}-\frac{1}{2}\).

对数运算

• ⑴、对数恒等式：\(a^{log_aN}=N(a>0，a\neq 1，N>0)\)

证明：由\(a^b=N\)得到\(b=log_aN\)，代入\(a^b=N\)即得到\(a^{log_aN}=N\)。

公式的作用：从左到右是化简，从右向左是常数指数化。

①\(2^{-log_23}=2^{log_23^{-1}}=3^{-1}=\cfrac{1}{3}\)； ②\(4^{\frac{1}{2}log_210}=(4^{\frac{1}{2}})^{log_210}=2^{log_210}=10\)；

③\(7^{-log_7\frac{1}{2}}=(\cfrac{1}{2})^{-1}=2\)； ④\(4^{\frac{1}{2}+log_210}=4^{\frac{1}{2}}\cdot 4^{log_210}=2\cdot 2^{log_2{10}^2}=200\)；

⑤求解对数不等式，\(2^x>3\Longrightarrow 2^x>3=2^{log_23}\Longrightarrow x>log_23\)；

当然也可以两边同时取以\(2\)为底的对数，得到\(log_22^x>log_23\)，即\(x>log_23\)；

⑥求解对数方程，\(log_3[log_3(log_4\;^x)]=0\)，

解得\(log_3(log_4\;^x)=1\)，解得\(log_4\;^x=3\)，解得\(x=64\)

⑦化简求值：\((\sqrt{3}+\sqrt{2})^{log_{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\sqrt{5}}\)

法1：原式\(=(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{\frac{-1}{-1}log_{(\sqrt{3}-\sqrt{2})}\sqrt{5}}=(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{log_{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{-1}}{\sqrt{5}}^{-1}}\)

\(=(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{log_{(\sqrt{3}+\sqrt{2})}(\sqrt{5})^{-1}}=5^{-\frac{1}{2}}=\cfrac{\sqrt{5}}{5}\)

法2：原式\(=(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{\frac{log_{(\sqrt{3}+\sqrt{2})}\sqrt{5}}{log_{(\sqrt{3}+\sqrt{2})}(\sqrt{3}-\sqrt{2})}}=(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{-log_{(\sqrt{3}+\sqrt{2})}\sqrt{5}}\)

\(=(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{log_{(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{\sqrt{5}}^{-1}}=5^{-\frac{1}{2}}=\cfrac{\sqrt{5}}{5}\)

• ⑵、对数换底公式：\(log_ab=\cfrac{log_cb}{log_ca}(a>0,a\neq 1;c>0,c\neq 1;b>0)\)

证明：设\(log_ab=x\)，则\(a^x=b\)，两边取以\(c\)为底的对数，

得到\(log_c{a^x}=log_cb\)，即\(xlog_ca=log_cb\)，

即\(log_ab=x=\cfrac{log_cb}{log_ca}\)，则有\(log_ab=\cfrac{log_cb}{log_ca}\)。

公式作用：公式从左到右，简单变复杂，是为了便于下一步约分化简；公式从右到左，直接将结果化简为对数式。

常用结论：

①\(log_ab\cdot log_bc\cdot log_cd= log_ad\)；

证明：用换底公式得到，\(\cfrac{lgb}{lga}\cdot \cfrac{lgc}{lgb}\cdot\cfrac{lgd}{lgc}=\cfrac{lgd}{lga}=log_ad\)。

应用：\(log_ab=\cfrac{1}{log_ba}\)，即\(log_ab\cdot log_ba=1\)；

②遇到函数\(f(x)=log_2x+log_x2(x\in[2，4])\)时常可以考虑均值不等式或者对号函数。

如求函数\(f(x)=log_2x+\cfrac{1}{log_2x}\)的值域；利用换元法，可以转化为求函数\(f(x)=g(t)=t+\cfrac{1}{t}\)，\(t\in [1，2]\)上的值域。

③若\(log_{14}7=a\)，\(14^b=5\)，用\(a、b\)表示\(log_{35}28\)；[为对数式的化简求值做准备]

分析：由已知\(log_{14}7=a\)，\(log_{14}5=b\)，

则\(log_{35}28=\cfrac{log_{14}28}{log_{14}35}=\cfrac{log_{14}\cfrac{14^2}{7}}{log_{14}35}=\cfrac{log_{14}14^2-log_{14}7}{log_{14}5+log_{14}7}=\cfrac{2-a}{a+b}\)

⑶、\(log_{a^m}{b^n}=\cfrac{n}{m}log_ab(m，n\in R，a>0，a\neq 1，b>0)\)

证明：使用换底公式，

\(log_{a^m}{b^n}=\cfrac{lgb^n}{lga^m}=\cfrac{nlgb}{mlga}=\cfrac{n}{m}\cdot\cfrac{lgb}{lga}=\cfrac{n}{m}log_ab\)。

常用结论：\(log_23=log_49\)；\(log_32=log_94\)；\(log_24=log_39\)；\(log_42=log_93\)；\(log_{2^3}5=log_{2^3}5^1=\cfrac{1}{3}log_25\)；

根式运算

• 三次根式的分母有理化

如\((1-k)^3=\cfrac{1}{2}\)，则有\(k=1-\sqrt[3]{\cfrac{1}{2}}\)

即\(k=1-\cfrac{1}{\sqrt[3]{2}}=1-\cfrac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[3]{4}}=1-\cfrac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{2^3}}=1-\cfrac{\sqrt[3]{4}}{2}\)

• 如化简\(\sqrt{7+4\sqrt{3}}\)【二重根式的化简】

分析：设\((a+b)^2=7+4\sqrt{3}\)，由于是二重根式，

则有\(\begin{cases}a^2+b^2=7\\2ab=4\sqrt{3}\end{cases}\)，解得\(a=2，b=\sqrt{3}\)或\(b=2，a=\sqrt{3}\)

即有\(\sqrt{7+4\sqrt{3}}=\sqrt{(2+\sqrt{3})^2}=2+\sqrt{3}\)。

• \(\sqrt{8+4\sqrt{3}}=\sqrt{(\sqrt{2}+\sqrt{6})^2}=\sqrt{2}+\sqrt{6}\)
• 化简\(\sqrt{5-2\sqrt{6}}+\sqrt{5+2\sqrt{6}}\)

分析：\(\sqrt{5-2\sqrt{6}}+\sqrt{5+2\sqrt{6}}=\sqrt{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2}+\sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}\)

\(=(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{3}+\sqrt{2})=2\sqrt{3}\).

典例剖析

【2021届高三文数三轮模拟用题】已知 \(3^{\frac{3}{a}}=2\)，则 \(2^{\frac{a}{3}}+2^{-\frac{a}{3}}\)=【\(\quad\)】

$A.2$ $B.4$ $C.\cfrac{10}{3}$ $D.3$

解析：由指数式 \(3^{\frac{3}{a}}=2\)，可得到对数式 \(\log_3^\;2=\cfrac{3}{a}\)，

两边同时取倒数， 得到 \(\cfrac{1}{\log_3^\;2}=\cfrac{a}{3}\)，即 \(log_2^\;3=\cfrac{a}{3}\)，

故 \(2^{\frac{a}{3}}+2^{-\frac{a}{3}}=2^{\log_2^\;3}+2^{-\log_2^\;3}=3+\cfrac{1}{3}=\cfrac{10}{3}\)，故选 \(C\).

【化简计算】

①\((2\cfrac{1}{4})^{\frac{1}{2}}-(-2018)^0-(3\cfrac{3}{8})^{-\frac{2}{3}}+(\cfrac{3}{2})^{-2}\)

\(=(\cfrac{9}{4})^{\frac{1}{2}}-1-(\cfrac{27}{8})^{-\frac{2}{3}}+(\cfrac{3}{2})^{-2}\)

\(=[(\cfrac{3}{2})^2]^{\frac{1}{2}}-1-[(\cfrac{3}{2})^3]^{-\frac{2}{3}}+(\cfrac{3}{2})^{-2}\)

\(=\cfrac{3}{2}-1-(\cfrac{3}{2})^{-2}+(\cfrac{3}{2})^{-2}=\cfrac{1}{2}\)。

②\(\cfrac{1}{2}lg\cfrac{32}{49}-\cfrac{4}{3}lg\sqrt{8}+lg\sqrt{245}\)

\(=\cfrac{1}{2}(lg32-lg49)-\cfrac{4}{3}lg8^{\frac{1}{2}}+lg245^{\frac{1}{2}}\)

\(=\cfrac{1}{2}(lg2^5-lg7^2)-\cfrac{4}{3}\cdot \cfrac{1}{2}lg2^3+\cfrac{1}{2}lg(49\times5)\)

\(=\cfrac{1}{2}(5lg2-2lg7)-\cfrac{2}{3}\times 3lg2+\cfrac{1}{2}(2lg7+lg5)\)

\(=\cfrac{5}{2}lg2-lg7-2lg2+\cfrac{1}{2}lg5+lg7\)

\(=\cfrac{1}{2}lg2+\cfrac{1}{2}lg5\)

\(=\cfrac{1}{2}(lg2+lg5)=\cfrac{1}{2}\)

③\((1\cfrac{7}{9})^{-\frac{1}{2}}+log_34\sqrt{3}-(\sqrt{n^2+1}-n)^{lg1}+log_5{35}-log_57\)

\(=(\cfrac{16}{9})^{-\frac{1}{2}}+log_33^{\frac{1}{4}}-(\sqrt{n^2+1}-n)^0+log_55+log_57-log_7\)

\(=[(\cfrac{4}{3})^{2}]^{-\frac{1}{2}}+\cfrac{1}{4}-1+1\)

\(=\cfrac{3}{4}+\cfrac{1}{4}=1\)

【2020届凤翔中学高三理科月考一第14题】已知函数\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}{1+log_2(2-x)，x<1}\\{2^{x-1}，x\geqslant 1,}\end{array}\right.\)
则\(f(-2)+f(log_212)\)=_______________.

分析：由题目可知，\(f(-2)=1+log_2[2-(-2)]=1+2=3\)；又由于\(log_212>1\)，

故\(f(log_212)=2^{log_212-1}=2^{log_212}\times 2^{-1}=12\times \cfrac{1}{2}=6\)，

故\(f(-2)+f(log_212)=9\)；

解关于\(t\)的不等式组\(\left\{\begin{array}{l}{log_3t\ge 0}\\{log_3(log_3t)\ge 0}\\{log_3[log_3(log_3t)]< 0}\end{array}\right.\)，求\(t\)的取值范围

分析：求解\(log_3t\ge 0=log_31\)得到\(t\ge 1①\)；

求解\(log_3(log_3t)\ge 0=log_31\)得到\(t\ge 3②\)；

求解\(log_3[log_3(log_3t)]< 0=log_31\)得到\(3<t<27③\)；

求交集得到\(3<t<27\)；

【大小比较】比较 \(16^{18}\) 和 \(18^{16}\) ；

法1：作商法，\(\cfrac{16^{18}}{18^{16}}=(\cfrac{16}{18})^{16}\cdot 16^2=(\cfrac{8}{9})^{16}\cdot 2^8=(\cfrac{64}{81})^{8}\cdot 2^8=(\cfrac{128}{81})^{8}>1\)，

故\(16^{18}>18^{16}\)；

法2：取对数作差法，\(lg16^{18}-lg18^{16}=18lg16-16lg18=72lg2-16(lg2+2lg3)=56lg2-32lg3>0\)，

故\(16^{18}>18^{16}\)；

大小比较：\(log_34\)和\(log_45\)；

法1：由于\(log_34=log_3(3\times \cfrac{4}{3})=1+log_3 \cfrac{4}{3}\)，

\(log_45=log_4(4\times \cfrac{5}{4})=1+log_4\cfrac{5}{4}\)，

因为底数都大于1，所以都是增函数，\(\cfrac{4}{3}>\cfrac{5}{4}\)，

则\(log_3\cfrac{4}{3}>log_3\cfrac{5}{4}\)，\(log_3\cfrac{5}{4}>log_4\cfrac{5}{4}\)，

所以\(log_3\cfrac{4}{3}>log_4\cfrac{5}{4}\)，即\(log_34>log_45\)；

法2：取\(\cfrac{5}{4}\)为中间量，

\(log_34-\cfrac{5}{4}=\cfrac{lg4}{lg3}-\cfrac{5}{4}\)

\(=\cfrac{4lg4-5lg3}{4lg3}=\cfrac{lg\cfrac{4^4}{3^5}}{4lg3}>0\)，

即\(log_34>\cfrac{5}{4}\)

\(log_45-\cfrac{5}{4}=\cfrac{lg5}{lg4}-\cfrac{5}{4}\)

\(=\cfrac{4lg5-5lg4}{4lg4}=\cfrac{lg\cfrac{5^4}{4^5}}{4lg4}<0\)，

即\(log_45<\cfrac{5}{4}\)，

即\(log_34>log_45\)；

【对数的运算】求值：\(log_2^\;{(\sqrt{2+\sqrt{3}}-\sqrt{2-\sqrt{3}})}\)

原式=\(log_2^\;{(\sqrt{2+\sqrt{3}}-\sqrt{2-\sqrt{3}})}\)

\(=\cfrac{1}{2}\cdot 2 log_2^\;{(\sqrt{2+\sqrt{3}}-\sqrt{2-\sqrt{3}})}\)

\(=\cfrac{1}{2}log_2^\;{(\sqrt{2+\sqrt{3}}-\sqrt{2-\sqrt{3}})^2}=\cfrac{1}{2}\)

已知\(2^x=3^y\)，求\(\cfrac{x}{y}\)的值。

分析：令\(2^x=3^y=k\)，则\(x=log_2k=\cfrac{1}{log_k2}\)，\(y=log_3k=\cfrac{1}{log_k3}\)，

故\(\cfrac{x}{y}=\cfrac{\frac{1}{log_k2}}{\frac{1}{log_k3}}=\cfrac{log_k3}{log_k2}=log_23=\cfrac{lg3}{lg2}\)。

计算\(5^{log_{25}(lg^22+lg\frac{5}{2})}\)；

分析：本题目分三个步骤完成：

第一步，先计算\(5\)的指数位置的对数的真数的值，

\(lg^22+lg\cfrac{5}{2}=(lg2)^2-lg2+lg5\)

\(=lg2(lg2-1)+lg5=-lg2lg5+lg5\)

\(=lg5(1-lg2)=(lg5)^2\)

这样，原题目就转化为\(5^{log_{25}(lg5)^2}\)；

第二步，再计算\(5\)的指数位置的对数的值，

\(log_{25}(lg5)^2=log_{5^2}(lg5)^2=\cfrac{2}{2}\cdot log_5lg5=log_5lg5\)；

这样，原题目再次转化为\(5^{log_5lg5}\)；

第三步，利用对数恒等式求值，

\(5^{log_5lg5}=lg5\)；

故\(5^{log_{25}(lg^22+lg\frac{5}{2})}=lg5\)；

【2017全国卷1，文科第17题高考真题】记\(S_n\)为等比数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和，已知\(S_2=2，S_3=-6\)。

（1）求数列\(\{a_n\}\)的通项公式。

分析：本问比较简单，你能说出怎么个简单法吗？

解方程组得到\(a_1=-2，q=-2\)，

故\(\{a_n\}\)的通项公式\(a_n=-2\cdot (-2)^{n-1}=(-2)^n\)。

（2）求\(S_n\)，并判断\(S_{n+1}，S_n，S_{n+2}\)是否成等差数列。

分析：先求解前\(n\)项和公式，

\(S_n=\cfrac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\cfrac{-2[1-(-2)^n]}{1-(-2)}=\cfrac{-2+2\cdot (-1)^n\cdot 2^n}{3}\)

\(=-\cfrac{2}{3}+(-1)^n\cfrac{2^{n+1}}{3}\)。

接下来你得意识到，\(S_n\)是个关于自变量\(n\)的函数，故由此我们应该能写出\(S_{n+1}\)，\(S_{n+2}\)

至于等差数列的判断，我们依据等差中项法判断即可，即验证\(S_{n+2}+S_{n+1}\)是否等于\(2S_n\)。

判断如下：\(S_{n+2}+S_{n+1}\)

\(=-\cfrac{2}{3}+(-1)^{n+2}\cfrac{2^{n+3}}{3}-\cfrac{2}{3}+(-1)^{n+1}\cfrac{2^{n+2}}{3}\)

\(=-\cfrac{4}{3}+(-1)^n\cdot (-1)^2\cfrac{2^{n+3}}{3}+(-1)^n\cdot (-1)^1\cfrac{2^{n+2}}{3}\)

\(=-\cfrac{4}{3}+(-1)^n\cfrac{2^{n+3}}{3}-(-1)^n\cfrac{2^{n+2}}{3}\)

\(=-\cfrac{4}{3}+(-1)^n(\cfrac{2^{n+2}\cdot 2}{3}-\cfrac{2^{n+2}}{3})\)

\(=-\cfrac{4}{3}+(-1)^n\cfrac{2^{n+2}}{3}\)

\(=2[-\cfrac{2}{3}+(-1)^n\cfrac{2^{n+1}}{3}]=2S_n\)，

故\(S_{n+1}，S_n，S_{n+2}\)成等差数列。

对正整数\(n\)，设曲线\(y=x^n(1-x)\)在\(x=2\)处的切线与\(y\)轴交点的纵坐标为\(a_n\)，则数列\(\{\cfrac{a_n}{n+1}\}\)的前\(n\)项和的公式是________.

分析：\(y=f(x)=x^n(1-x)=x^n-x^{n+1}\)，则\(f'(x)=nx^{n-1}-(n+1)x^n\)，

则\(k=f'(2)=n\cdot 2^{n-1}-(n+1)\cdot 2^n=n\cdot 2^{n-1}-(n+1)\cdot 2^{n-1}\cdot 2\)

\(=n\cdot 2^{n-1}-(2n+2)\cdot 2^{n-1}=2^{n-1}\cdot (n-2n-2)=-(n+2)\cdot 2^{n-1}\)

又切点为\((2，-2^n)\)，则切线方程为\(y-(-2^n)=-(n+2)\cdot 2^{n-1}\cdot (x-2)\)，

令\(x=0\)，得到切线与\(y\)轴交点的纵坐标\(y=(n+2)\cdot 2^{n}-2^n=(n+1)\cdot 2^n=a_n\)，

令\(b_n=\cfrac{a_n}{n+1}=2^n\)，数列\(\cfrac{a_n}{n+1}\)的前\(n\)项和为

\(T_n=2+2^2+2^3+\cdots+2^n=\cfrac{2(2^n-1)}{2-1}=2^{n+1}-2\)；

解对数方程：\(log_2(9^{x-1}-5)=log_2(3^{x-1}-2)+2\)

分析：要使得原方程成立，必须先满足条件\(9^{x-1}-5>0①\)， \(3^{x-1}-2>0②\)，

在此前提下，原方程等价于\(log_2(9^{x-1}-5)=log_24(3^{x-1}-2)\);

即\(9^{x-1}-5=4(3^{x-1}-2)\)，

即\(9^{x-1}-4\cdot 3^{x-1}+3=0\)，

即\((3^{x-1})^2-4\cdot 3^{x-1}+3=0\)，

即 \(3^{x-1}=1\)，或者\(3^{x-1}=3\)，

解\(3^{x-1}=1\)， 即\(3^{x-1}=3^0\)，解得\(x=1\)，

解\(3^{x-1}=3\)， 即\(3^{x-1}=3^1\)，解得\(x=2\)，

验证：将\(x=1\)和\(x=2\)代入①②两式，舍去\(x=1\)，保留\(x=2\)，

故方程的根为\(x=2\)。

求值：\(5^{lg30}\cdot (\cfrac{1}{3})^{lg0.5}\)

分析：设\(5^{lg30}\cdot (\cfrac{1}{3})^{lg0.5}=x\)，两边同时取对数，

得到\(lgx=lg[5^{lg30}\cdot (\cfrac{1}{3})^{lg0.5}]\)，

即\(lgx=lg30\cdot lg5+lg0.5\cdot lg\cfrac{1}{3}\)

即\(lgx =(lg3+1)\cdot lg5+(-lg2)\cdot (-lg3)\)

即\(lgx=lg3\cdot lg5+lg5+lg2\cdot lg3\)

即\(lgx=lg3(lg2+lg5)+lg5\)

即\(lgx=lg3+lg5=lg15\)，

即\(x=15\)；

已知\(a，b>0\)，且满足\(2+log_2a=3+log_3b=log_6(a+b)\)，求\(\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}\)的值；

分析：引入正数因子\(k\)，令\(2+log_2a=3+log_3b=log_6(a+b)=k(k>0)\)，

则由\(2+log_2a=log_24a=k\)，得到\(4a=2^k\)，即\(a=\cfrac{2^k}{2^2}=2^{k-2}\)；

由\(3+log_3b=log_327b=k\)，得到\(27b=3^k\)，即\(b=\cfrac{3^k}{3^3}=3^{k-3}\)；

由\(log_6(a+b)=k\)，得到\(a+b=6^k\)；

则\(\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}=\cfrac{a+b}{ab}=\cfrac{6^k}{2^{k-2}\cdot 3^{k-3}}=\cfrac{2^k\cdot 3^k}{2^k\cdot 2^{-2}\cdot 3^k\cdot 3^{-3}}\)

\(=\cfrac{1}{2^{-2}\cdot 3^{-3}}=2^2\cdot 3^3=108\)

【2019届高三理科对数与对数函数课时作业习题第14题】设\(2^a=5^b=m\)，且\(\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}=2\)，则\(m\)=_____________。

分析：将指数式转化为对数式，可得\(a=log_2m\)，\(b=log_5m\)，

则\(\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}=\cfrac{1}{log_2m}+\cfrac{1}{log_5m}=log_m2+log_m5=log_m10=2\)，

即\(m^2=10\)，又\(2^a=m>0\)，故\(m=\sqrt{10}\)。

【2019届高三理科数学第三轮模拟训练题】【难点题目，综合程度高，对学生的运算能力要求很高】已知正项等比数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，若\(7S_6=3S_9\)，\(a_4=2\)，则数列\(\{a_{3n-2}+log_2a_n\}\)的前\(10\)项的和\(T_{10}\)=____________。

分析：先由条件容易判定，$q\neq 1 $，由\(7S_6=3S_9\)，得到\(7\times \cfrac{a_1(1-q^6)}{1-q}=3\times \cfrac{a_1(1-q^9)}{1-q}\)

转化得到\(3q^9-7q^6+4=0\)，令\(q^3=t\)，变形为\(3t^3-7t^2+4=0\)，

即\(3t^3-3t^2-4t^2+4=0\)，即\(3t^2(t-1)-4(t-1)(t+1)=(t-1)(3t^2-4t-4)=0\)，

解得\(t=1\)(舍去)，\(t=-\cfrac{2}{3}\)(舍去)，\(t=2\)；

即\(t=q^3=2\)，则\(a_n=a_4\cdot q^{n-4}=2q^{n-4}\)，

则\(a_{3n-2}=2\cdot q^{3n-6}=2\cdot (q^3)^{n-2}=2\cdot 2^{n-2}=2^{n-1}\)；

\(log_2a_n=log_22\cdot q^{n-4}=1+(n-4)log_2q=1+(n-4)\cdot \cfrac{1}{3}log_2q^3\)

\(=1+(n-4)\cdot \cfrac{1}{3}log_22=1+\cfrac{n-4}{3}\)；

则\(T_{10}=(2^0+2^1+\cdots+2^9)+[(1+\cfrac{-3}{3})+(1+\cfrac{-2}{3})+\cdots+(1+\cfrac{6}{3})\)

\(=\cfrac{1(2^{10}-1)}{2-1}+10+\cfrac{1}{3}\times\cfrac{(-3+6)10}{2}=1023+15=1038\);

解后反思：巧妙利用指数幂的运算性质，可以大大简化本题目的运算过程，降低运算难度。

【2016浙江卷】已知\(a>b>1\)，若\(log_ab+log_ba=\cfrac{5}{2}\)，\(a^b=b^a\)，则\(a=4\)，\(b=2\)。

分析：令\(log_ba=t\)，则\(t>1\)，由于\(t+\cfrac{1}{t}=\cfrac{5}{2}\)，所以\(t=2\)，则\(a=b^2\)，

代入\(a^b=b^a\)，得到\(b^{2b}=b^{b^2}\)，则\(b^2=2b\)，故\(b=2\)，\(a=4\)。

【学生运算训练】已知等比数列的通项公式\(a_n=2^n\)，前\(n\)项和为\(S_n\)，解不等式\(16S_n\leqslant 31a_n\)；

分析：由等比数列的通项公式\(a_n=2^n\)，得到\(S_n=2^{n+1}-2\)，代入不等式得到

\(16(2^{n+1}-2)\leqslant 31\cdot 2^n\)，即\(16\cdot 2^n\cdot 2-32\leqslant 31\cdot 2^n\)

即\(32\cdot 2^n-31\cdot 2^n\leqslant 32\)，即\(2^n\leqslant 32\)，

解得\(n\leqslant 5\)，又\(n\in N^*\)，

故\(n=1,2,3,4,5\)；

延伸阅读

1、对数的运算难点；

2、幂函数\(f(x)=x^a\)，其抽象函数为\(f(x)\cdot f(y)=f(x\cdot y)\)；\(\cfrac{f(x)}{f(y)}\)\(=f(\cfrac{x}{y})\)；

3、指数函数\(f(x)=a^x\)，其抽象函数为\(f(x)\cdot f(y)=f(x＋y)\)；\(\cfrac{f(x)}{f(y)}=f(x-y)\)；

4、对数函数\(f(x)=log_a^\;x\)，其抽象函数为\(f(x)+f(y)=f(x\cdot y)\)； \(f(x)-f(y)=\)\(f(\cfrac{x}{y})\)；