函数的奇偶性
函数的奇偶性的如何理解，给出方式，常用结论等。
前言
当你学习了本篇博文后，如果感觉还需要深入学习，可以阅读函数的奇偶性习题；函数的奇偶性周期性习题；
常用给出
- 1、直接给出；
如函数\(f(x)\)在某区间\(D\)上是奇函数。
- 2、以定义式给出；
如\(\forall x \in D，f(-x)=- f(x)\)，则它是奇函数。
\(\forall x \in D，f(-x)= f(x)\)，则它是偶函数，或函数满足\(f(|x|)=f(x)\)，则它是偶函数；
- 3、定义的变形式给出；
如\(\forall x \in D，f(-x) \pm f(x)=0\)，\(\cfrac{f(-x)}{f(x)}=\pm 1(f(x)\neq0)\)。引申说明[1]
又或者 \(f(-x)+f(x)=2f(x)\)，偶函数，\(f(-x)\cdot f(x)=[f(x)]^2\)，偶函数；可以用四则运算给出；
- 4、以图像的形式【或分段函数的形式或绝对值形式】给出；
比如\(f(x)=2^x-1\)，\(g(x)=|f(x)|\)，则\(g(x)\)为偶函数；
比如某函数图像关于原点对称，某函数图像关于\(y\)轴对称；做出分段函数图像即可知奇偶性。
- 5、以奇偶性的性质应用的结论形式给出；
在公共定义域上，以下结论是成立的，也是可以证明的；常用例子，注意识记。
“奇函数”\(+\)“奇函数”是“奇函数”；简单证明：[2]
如\(f(x)=x+sinx\)；\(g(x)=x^3+2sinx\)；\(h(x)=x+\cfrac{1}{x}\)；\(h(x)=2x+\cfrac{3}{x}\)；
“奇函数”\(-\)“奇函数”是“奇函数”；
如\(f(x)=x^3-sinx\)；\(h(x)=x-\cfrac{2}{x}\)；
“奇函数”\(\times\)“奇函数”是“偶函数”；
如\(f(x)=x\cdot sinx\)；\(f(x)=x^3sinx\)；
“奇函数”\(÷\)“奇函数”是“偶函数”；
如\(f(x)=\cfrac{sinx}{x}\)；
“偶函数”\(+\)“偶函数”是“偶函数”；“偶函数\(-\)偶函数”是“偶函数”；
“偶函数”\(\times\)“偶函数”是“偶函数”；“偶函数”\(÷\)“偶函数”是“偶函数”；
“奇函数”\(\times\)“偶函数”是“奇函数”；“奇函数”\(÷\)“偶函数”是“奇函数”；
- 函数\(f(x)\)与\(k\cdot f(x)\)，\(\cfrac{k}{f(x)}(k\neq 0，f(x)\neq 0)\)具有相同的奇偶性，
如\(f(x)\)为偶函数，则可知函数\(g(x)=2f(x)\)为偶函数。
- 特例，原来没有奇偶性的函数，进行四则运算后，又有了奇偶性。
如\(f(x)=e^x+\cfrac{1}{e^x}=e^x+e^{-x}\)，偶函数；如\(f(x)=e^x-\cfrac{1}{e^x}=e^x-e^{-x}\)，奇函数；
- 6、以命题的形式给出，
分析：由于“\(\exists x_0\in (a,b)\)，\(f(x_0)+f(-x_0)\neq 0\)”是假命题，
则对“\(\forall x\in (a,b)\)，\(f(x)+f(-x)=0\)”是真命题，即\(f(x)\)为奇函数；
则给定定义域\((a,b)\)关于原点对称，故\(a+b=0\)，则\(f(a+b)=f(0)=0\)；
高阶给出
- 7、以整体与部分具有奇偶性的形式给出，
比如，函数\(f(x)=x+sinx\)整体具有奇偶性，是奇函数，
但是函数\(g(x)=x+sinx+1\)整体不具有奇偶性，但其组成部分\(y=x+sinx\)却具有奇偶性。
解析:注意，整个函数\(f(x)=a\sin x+b\sqrt[3]{x}+4\)不具有奇偶性，但是其中的组成部分\(y=a\sin x\)和\(y=b\sqrt[3]{x}\)却是有奇偶性的，
由\(f(x)=a\sin x+b\sqrt[3]{x}+4\)，我们得到，
则\(f(-x)=-a\sin x-b\sqrt[3]{x}+4\)，所以\(f(x)+f(-x)=8\)，
由于 \(f(\lg\cfrac{1}{3})=f(-\lg3)\)，
因此\(f(\lg3)+f(-\lg3)=8\)，则\(3+f(-\lg 3)=8,\)
所以\(f(-\lg3)=5\)，故\(f(lg\cfrac{1}{3})=f(-\lg3)=5\)，故选\(C\)。
- 8、以图像变换为依托给出，
如\(f(x-1)\)的对称轴是\(x=1\)，则可知\(f(x)\)的对称轴是\(y\)轴，即\(f(x)\)是偶函数；
- 9、以积函数的形式给出；[3]
- 10、以函数的变形构造给出；
如，题目给定 \(f(x)+f(-x)+2x^2=0\) ，则可以得到 \(f(x)+x^2=-f(-x)-(-x)^2\)，令\(h(x)=f(x)+x^2\)，则 \(h(x)=-h(-x)\)，故 \(h(x)\) 为奇函数，
- 11、以周期性和对称性结合给出奇偶性；
已知函数\(f(x)\)的周期是2，且满足\(f(2+x)=f(-x)\)，则可推知函数\(f(x)\)为偶函数。
具体变形如下：由\(f(x+2)=f(x)\)和\(f(2+x)=f(-x)\)，得到\(f(-x)=f(x)\)，故函数\(f(x)\)为偶函数。
- 12、以复合函数的形式给出；
若\(f(x)\)为奇函数，\(g(x)\)为偶函数，则\(f(g(x))\)为偶函数，\(g(f(x))\)也为偶函数；奇偶复合后为偶函数；[4]
若\(f(x)\)为偶函数，\(g(x)\)为偶函数，则\(f(g(x))\)为偶函数，\(g(f(x))\)也为偶函数；偶偶复合后为偶函数；
若\(f(x)\)为奇函数，\(g(x)\)为奇函数，则\(f(g(x))\)为奇函数，\(g(f(x))\)也为奇函数；奇奇复合后为奇函数；[5]
- 13、以结合赋值法给出；
对任意实数\(m，n\)都满足\(f(m)+f(n-m)=f(n)\)，则函数\(f(x)\)为奇函数令\(m\)\(=\)\(n\)\(=0\)，得到\(f(0)\)\(+\)\(f(0-0)\)\(=\)\(f(0)\)，则\(f(0)\)\(=\)\(0\)，再令\(n\)\(=\)\(0\)，得到\(f(m)\)\(+\)\(f(-m)\)\(=\)\(f(0)\)\(=0\)，即\(f(-m)\)\(=\)\(-f(m)\)，即函数\(f(x)\)为奇函数，；对任意实数\(m，n\)都满足\(f(m)-f(n-m)=f(n)\)，则 \(f(x)\) 为偶函数；
已知函数\(f(x)\)满足\(f(1)=\cfrac{1}{2}\)，且\(f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)\)，则可推知函数\(f(x)\)为偶函数。[6]
常用结论
1．奇偶性的几个重要结论
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(0)如果函数\(f(x)\)为奇函数且有最值，则\(f(x)_{max}+f(x)_{min}=0\)或者说，闭区间上的单调函数+奇函数，则其最值之和为\(0\)，比如\([-1，1]\)上的奇函数\(f(x)\)\(=\)\(x^3\)\(+\)\(x\)，则\(f(x)_{max}\)\(+\)\(f(x)_{min}\)\(=\)\(0\)..
-
(1)如果一个奇函数\(f(x)\)在原点处有定义，即\(f(0)\)有意义，那么一定有\(f(0)＝0\)。
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(2)如果函数\(f(x)\)是偶函数，那么\(f(x)＝f(|x|)\)，在求解抽象不等式时使用频度很高。
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(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即\(f(x)＝0\)，\(x∈D\)，其中定义域\(D\)是关于原点对称的非空数集．
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(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
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(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；
奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．
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(6)既奇又偶的函数仅仅只有一类，\(f(x)=0\)，\(x\in D\)，\(D\)是关于原点对称的定义域，可以是离散取值的，也可以是连续取值的。
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(7)函数有奇偶性的前提是定义域关于原点对称，利用这一点可以求参数的值。
如定义在\([a，b]\)上的奇函数\(f(x)\)，则可知\(a+b=0\)，若其定义在\([2a-1，3a]\)上，则有\((2a-1)+3a=0\)，解得\(a=\cfrac{1}{5}\)；
2、二次函数\(y=ax^2+bx+c(a\neq0)\) 为偶函数的充要条件是\(b=0\) ，
证明：对称轴为\(x=-\cfrac{b}{2a}\)，
充分性：由\(b=0\)，得到对称轴为\(x=0\)，即就是\(y\)轴。
必要性：由函数为偶函数，对称轴是\(x=-\cfrac{b}{2a}\)， 得到\(b=0\)。
由此推广得到以下结论：
3、多项式函数\(y=f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\) 为奇函数的充要条件是\(a=c=e=0\)
说明： \(f(-x)+f(x)=0\)恒成立，
即\([a(-x)^4+b(-x)^3+c(-x)^2+d(-x)+e]+(ax^4+bx^3+cx^2+dx+e)\)
\(=2ax^4+2cx^2+2e=0\)，
即\(ax^4+cx^2+e=0\)对\(\forall x\in R\)都成立，故\(a=c=e=0\)。
比如，已知函数\(f(x)=x^3+(a-1)x^2+ax\)为奇函数，则\(a=1\)；
4、多项式函数\(y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\) 为偶函数的充要条件是\(b=d=0\)
仿上例可说明。
5、奇函数的导函数为偶函数；
文科：举例说明，比如函数\(f(x)=sinx\)为奇函数，其导函数为\(f'(x)=cosx\)为偶函数；
理科：逻辑证明，设函数\(f(x)\)为奇函数，其导函数\(f'(x)\)，
记\(f'(x)=g(x)\)，由函数\(f(x)\)为奇函数，
则有\(f(-x)+f(x)=0\)，对其两边求导得到，
\(-f'(-x)+f'(x)=0\)，即\(-g(-x)+g(x)=0\)，
即\(g(-x)=g(x)\)，
即函数\(g(x)\)为偶函数；
6、偶函数的导函数为奇函数；
文科：举例说明，比如函数\(f(x)=cosx\)为偶函数，其导函数为\(f'(x)=-sinx\)为奇函数；
理科：逻辑证明，设函数\(f(x)\)为偶函数，其导函数为\(f'(x)\)，
记\(f'(x)=g(x)\)，由函数\(f(x)\)为偶函数，
则有\(f(-x)-f(x)=0\)，对其两边求导得到，
\(-f'(-x)-f'(x)=0\)，即\(-g(-x)-g(x)=0\)，
即\(g(-x)=-g(x)\)，
即函数\(g(x)\)为奇函数；
【应用举例】已知函数\(f(x)=(x^2+1)(ax^2+b)\)，且其导函数为\(f'(x)\)，已知\(f'(1)=2\)，求\(f'(-1)\)的值。
法1：计算法，将\(f(x)\)打开再求导；
法2：性质法，由于函数\(f(x)\)为偶函数，故\(f'(x)\)为奇函数，
则有\(f'(-1)=-f'(1)=-2\)。
7、若函数为奇函数，则在其关于原点对称的两点处的导函数的值相等。
文科：如\(f(x)=x^3\)，则\(f'(x)=3x^2\)，故\(f'(-1)=f'(1)=3\)；
理科：如函数\(f(x)\)满足\(f(-x)+f(x)=0\)，则给两边求导得到，
\(-f'(-x)+f'(x)=0\)，则有\(f'(x_0)-f'(-x_0)=0\)
引申：对称性，若函数\(f(x)+f(2-x)=2\)，则函数\(f(x)\)关于点\((1，1)\)对称，
且\(f'(x_0)=f'(2-x_0)\)，比如\(f'(0)=f'(2)\)；
8、若函数为偶函数，则在其关于原点对称的两点处的导函数的值互为相反数。
文科：如\(f(x)=x^2\)，则\(f'(x)=2x\)，故\(f'(-1)=-2，f'(1)=2\)；
理科：如函数\(f(x)\)满足\(f(-x)-f(x)=0\)，则给两边求导得到，
\(-f'(-x)-f'(x)=0\)，则有\(f'(x_0)+f'(-x_0)=0\)
引申：对称性，若函数\(f(x)=f(2-x)\)，则函数\(f(x)\)关于直线\(x=1\)对称，
且\(f'(x_0)=-f'(2-x_0)\)，比如\(f'(0)=-f'(2)\)；
9、定义为对称区间上的任何函数都可以表示成一个偶函数和一个奇函数之和。
证明：若\(f(x)\)为定义在\((-m，m)\)上的任意函数，
可设\(g(x)=\cfrac{f(x)+f(-x)}{2}\)，\(h(x)=\cfrac{f(x)-f(-x)}{2}\)，
容易验证\(g(-x)=g(x)\)，\(h(-x)=-h(x)\)，
所以\(g(x)\)为偶函数，\(h(x)\)为奇函数，
而\(\cfrac{f(x)+f(-x)}{2}+\cfrac{f(x)-f(-x)}{2}=f(x)=g(x)+h(x)\)，
故命题得证，即定义为对称区间上的任何函数都可以表示成一个偶函数和一个奇函数之和。
[反思提升]：此证明过程同时还给出了这个奇函数和偶函数的构造过程，
比如，已知任意函数\(f(x)=e^x\)，
则奇函数为\(h(x)=\cfrac{f(x)-f(-x)}{2}=\cfrac{e^x-e^{-x}}{2}\)，
则偶函数为\(g(x)=\cfrac{f(x)+f(-x)}{2}=\cfrac{e^x+e^{-x}}{2}\)。
分析：由于\(f(-x)=f(x)\)，\(g(-x)=-g(x)\)，
又由于\(f(x)+g(x)=e^x\)①，则\(f(-x)+g(-x)=e^{-x}\)，即\(f(x)-g(x)=e^{-x}\)②，
联立①②解方程，可得\(g(x)=\cfrac{1}{2}(e^x-e^{-x})\)，故选\(D\)。
注意：虽然说\(f(-x)=-f(x)\)和\(f(-x)+f(x)=0\)是等价的，但是有时候我们感觉二者是有区别的，尤其是涉及到对数型函数的奇偶性的判断时，更是如此；举例如下，
引例1，已知定义域为\(R\)的函数\(f(x)=ln(\sqrt{x^2+1}-x)\)，判断函数\(f(x)\)的奇偶性；
法1：难，\(f(-x)=ln(\sqrt{x^2+1}+x)=ln(\cfrac{1}{\sqrt{x^2+1}-x})\)
\(=ln(\sqrt{x^2+1}-x)^{-1}=-ln(\sqrt{x^2+1}-x)=-f(x)\)
即函数\(f(x)\)为奇函数；
备注：\((\sqrt{x^2+1}+x)(\sqrt{x^2+1}-x)=1\)；\((\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})=1\)；
法2：易，由于\(f(x)=ln(\sqrt{x^2+1}-x)\)，则\(f(-x)=ln(\sqrt{x^2+1}+x)\)，
即\(f(x)+f(-x)=ln(\sqrt{x^2+1}-x)+ln(\sqrt{x^2+1}+x)=ln1=0\)，即函数\(f(x)\)为奇函数；
引例2，已知函数\(g(x)=lg(\sqrt{sin^2x+1}+sinx)\)，判断其奇偶性；
分析：同上例，可知\(g(-x)=lg(\sqrt{sin^2x+1}-sinx)\)，即\(g(x)+g(-x)=lg1=0\)，即函数\(g(x)\)为奇函数； ↩︎补充简单的证明。已知\(f(x)、g(x)\)都是奇函数，证明\(H(x)=f(x)+g(x)\)为奇函数；
分析：\(f(x)、g(x)\)都是奇函数，则函数\(H(x)\)的定义域必关于原点对称，
且满足\(f(-x)=-f(x)\)，\(g(-x)=-g(x)\)，
则\(H(-x)=f(-x)+g(-x)=-[f(x)+g(x)]=-H(x)\)，
故\(H(x)\)为奇函数。 ↩︎如函数\(f(x)=x\cdot ln(x+\sqrt{a+x^2})\)为偶函数，求\(a\)的值；
分析：由\(f(x)=x\cdot ln(x+\sqrt{a+x^2})\)为偶函数，其中的因子函数\(y=x\)为奇函数，则可知另一个因子函数\(g(x)=ln(x+\sqrt{a+x^2})\)为奇函数，则\(g(-x)+g(x)=0\)恒成立，即\(ln(-x+\sqrt{a+x^2})+ln(x+\sqrt{a+x^2})=0\)，整理得到\(ln(a+x^2-x^2)=0\)，解得\(a=1\)。 ↩︎证明如下：若\(f(x)\)为奇函数，\(g(x)\)为偶函数，
设\(H(x)=f(g(x))\)，则\(H(-x)=f(g(-x))=f(g(x))=H(x)\)；故\(f(g(x))\)为偶函数；
设\(G(x)=g(f(x))\)，则\(G(-x)=g(f(-x))=g(-f(x))=g(f(x))=G(x)\)；故\(g(f(x))\)为偶函数； ↩︎证明如下：若\(f(x)\)为奇函数，\(g(x)\)为奇函数，
设\(H(x)=f(g(x))\)，则\(H(-x)=f(g(-x))=f(-g(x))=-f(g(x))=-H(x)\)；故\(f(g(x))\)为奇函数；
设\(G(x)=g(f(x))\)，则\(G(-x)=g(f(-x))=g(-f(x))=-g(f(x))=-G(x)\)；故\(g(f(x))\)为奇函数； ↩︎具体变形如下：
令\(x=y=0\)，则有\(2f(0)=2f^2(0)\)，得到\(f(0)=0\)或\(f(0)=1\)；
再令\(x=1，y=0\)，则有\(2f(1)=2f(1)f(0)\)，得到\(f(0)=1\)；
又题目已知\(f(1)=\cfrac{1}{2}\)，得到\(f(0)=1\)[\(f(0)=0\)舍去]；
再令\(x=0\)，则得到\(f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)=2f(y)\)，
所以\(f(-y)=f(y)\)，可知函数是偶函数。 ↩︎
