如何巧妙避开分类讨论思想

前言

一般来说，高中数学中的许多题目和初中数学题目相比，不再是单线程的，往往都需要分类讨论，如果不这样做，就不容易说清楚，这也体现了对数学思维的较高要求；相反的，有时候如果能选择恰当的思路和方法，却可以避开分类讨论，简单快捷的完成求解，当然这需要我们更高的数学素养。

举一个简单例子，加以印证。比如求解不等式 \(x^2\)\(-4|x|\)\(+3\leq\) \(0\)，如果你能注意到 \(x^2\)\(=\)\(|x|^2\)，那么原不等式即 \(|x|^2\)\(-4|x|\)\(+3\)\(\leq\)\(0\)，这样统一了未知数，我们就能容易想到将其分解为 \((|x|-1)\)\(\cdot\)\((|x|-3)\leq 0\)，从而求解为 \(1\leq\)\(|x|\)\(\leq\)\(3\)，进而得到不等式的解为 \(1\leq x\leq3\) 或 \(-3\leq x\leq -1\) .

否则，你需要将原不等式等价转化为两个不等式组 \(\left\{\begin{array}{l}{x\geq 0}\\{x^2-4x+3\leq 0}\end{array}\right.\quad\) 或者 \(\left\{\begin{array}{l}{x<0}\\{x^2+4x+3\leq 0}\end{array}\right.\quad\) ，从而求解。

解题经验梳理

既然分类讨论的做法麻烦又费事，容易出错，那么能不能有意识的避开分类讨论思想来解题呢？回答是肯定的，以下情形可以有效避开：

• 由集合的真包含关系求参数的取值范围时，先都取等号，最后验证端点值即可，这样可以避免分类讨论；如

若集合\(B=\{x\mid m+1\leq x\leq 1-2m \}\)，集合\(A=\{x\mid -2\leq x\leq 7\}\)，若\(A\subsetneqq B\)，求实数\(m\)的取值范围。

分析：自行画出草图可知，先列出条件\(\begin{cases}&m+1\leq-2\\&1-2m \ge 7\end{cases}\)，解得\(m\leq -3\)，

接下来验证\(m=-3\)是否满足题意。

当\(m=-3\)时，\(A=[-2，7]\)，\(B=[m+1，1-2m]=[-2，7]\)，此时\(A=B\)，不满足题意，舍去，

故实数\(m\)的取值范围为\(\{m\mid m<-3\}\)。

当函数图像中有一部分为水平线时，常常需要分类讨论。若能更好的利用图像，也可以避免分类讨论；

【2019福州质检】设函数\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}{0，x\leqslant 0}\\{e^x-e^{-x}，x>0}\end{array}\right.\)，则满足\(f(x^2-2)>f(x)\)的\(x\)的取值范围是 【\(\qquad\)】

$A.(-\infty，-1)\cup(2，+\infty)$

$B.(-\infty，-\sqrt{2})\cup(\sqrt{2}，+\infty)$

$C.(-\infty，-\sqrt{2})\cup(2，+\infty)$

$D.(-\infty，-1)\cup(\sqrt{2}，+\infty)$

分析：做出分段函数的图像如下，

则由\(f(x^2-2)>f(x)\)得到，\(\left\{\begin{array}{l}{x\leqslant 0}\\{x^2-2>0\;\;\;}\end{array}\right.\) 或 \(\left\{\begin{array}{l}{x> 0}\\{x^2-2>x}\end{array}\right.\)

解得\(\left\{\begin{array}{l}{x\leqslant 0}\\{x<-\sqrt{2}，或x>\sqrt{2}\;\;\; }\end{array}\right.\) 或 \(\left\{\begin{array}{l}{x>0}\\{x<-1或x>2}\end{array}\right.\)

即\(x<-\sqrt{2}\)或\(x>2\)，故选\(C\).

【更简单解法】结合函数的图像，我们只需要让\(x^2-2\)在单调区间内活动[注意不要取到左端点]，同时让\(x\)始终在\(x^2-2\)左侧活动即可满足题意；

故等价于\(\left\{\begin{array}{l}{x^2-2>0}\\{x^2-2>x}\end{array}\right.\) \(\quad\)解得，\(\left\{\begin{array}{l}{x<-\sqrt{2}或x>\sqrt{2}}\\{x<-1或x>2}\end{array}\right.\)

求交集得到，\(x<-\sqrt{2}\)或\(x>2\)，故选\(C\).

已知函数\(f(x)=\begin{cases}-1,&x\ge0\\x^2-1,&x<0\end{cases}\),则满足不等式\(f(3-x^2)<f(2x)\)的取值范围是【\(\qquad\)】

$A.[-3，0)$ $B.(-3，0)$ $C.(-3，1)$ $D.(-3，-\sqrt{3})$

分析：做出函数的图像，由图像可知，

原不等式等价于\(\begin{cases}3-x^2\ge0\\2x<0\end{cases}\)或\(\begin{cases}3-x^2<0\\2x<0\\3-x^2>2x\end{cases}\).

解得\(-\sqrt{3}\leq x<0\)或\(-3<x<-\sqrt{3}\),故\(-3<x<0\)，选\(B\)。

【更简单解法】结合函数的图像，我们只需要让\(2x\)在单调区间内活动[注意不要取到右端点]，同时让\(2x\)始终在\(3-x^2\)左侧活动即可满足题意；

故等价于\(\left\{\begin{array}{l}{2x<0}\\{2x<3-x^2}\end{array}\right.\) \(\quad\)解得，\(\left\{\begin{array}{l}{x<0}\\{-3<x<1}\end{array}\right.\)

求交集得到，\(-3<x<0\)，故选\(B\).

• 当给定 \(A(x_1,y_1)\) 和 \(B(x_2,y_2)\)，求解或证明 \(OA\perp OB\)时，若用 \(k_{_{OA}}\cdot k_{_{OB}}=1\)，需要分类 \(k\)存在或者 \(k\) 不存在两种情形讨论，但若是采用向量形式：\(x_1x_2\)\(+\)\(y_1y_2\)\(=0\) 刻画相互垂直，就可以避免分类讨论；

• 等比数列中出现\(S_n\)，当下标比较小时，利用定义式可以避免分类讨论；

• 分离参数时，采用取倒数法分离参数，可以避免分类讨论；

• 直线方程中设\(y=kx+b\)，需要分类讨论，换成\(x=my+b\)可以避免分类讨论；

• 当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设为\(\cfrac{x^2}{m}+\cfrac{y^2}{n}=1\) (\(m>0,n>0\))，可避免分类讨论，也可设为\(Ax^2+By^2=1\) (\(A>0,B>0\)且\(A\neq B\))，解题比较方便。

• 圆锥曲线中如\(\cfrac{x^2}{16}+\cfrac{y^2}{9}=1\)，如果设其上的点的坐标为\((x，y)\)，需要分类讨论，但若设为参数方程的形式\((4cos\theta，3sin\theta)\)则可以避免分类讨论；

• 偶函数\(f(x)=f(-x)=f(|x|)\)，则可以避免分类讨论；

已知定义在 \(R\) 上的函数 \(y=f(x)\) 满足 \(f(-x)-f(x)=0\)，且对在任意不相等的 \(x_1,x_2\in (-\infty,0]\) 有 \(\cfrac{x_1-x_2}{f(x_1)-f(x_2)}<0\) 成立，求解不等式\(f(x)>f(2-x)\)中\(x\)的取值范围。

法1：[分类讨论，很繁琐的思路]

先判断函数的定义域为\(R\)，且为偶函数；则可知在\((-\infty，0]\)上单调递减，在\([0，+\infty)\)上单调递增。

若针对两个自变量\(x\)和\(2-x\)分类讨论，则得到以下四种情形：

\(Ⅰ.\left\{\begin{array}{l}{x>0}\\{2-x\ge 0}\\{x>2-x}\end{array}\right.\)或者\(Ⅱ.\left\{\begin{array}{l}{x<0}\\{2-x\leq 0}\\{x<2-x}\end{array}\right.\)或者\(Ⅲ.\left\{\begin{array}{l}{x>0}\\{2-x\leq 0}\\{-x<2-x}\end{array}\right.\)或者\(Ⅳ.\left\{\begin{array}{l}{x<0}\\{2-x\ge 0}\\{-x>2-x}\end{array}\right.\)

解Ⅰ得到，\(1<x\leq 2\)；解Ⅱ得到，\(x\in \varnothing\)；

解Ⅲ得到，\(x\ge 2\)；解Ⅳ得到，\(x\in \varnothing\)；

求并集得到\(x\)的取值范围为\(x>1\)，即\(x\in (1，+\infty)\)。

法2：[利用偶函数的性质，简洁明快]先判断函数的定义域为\(R\)，在\((-\infty，0]\)上单调递减，在\([0，+\infty)\)上单调递增，且为偶函数；

故由\(f(x)>f(2-x)\)变形得到，\(f(|x|)>f(|2-x|)\)，这样做的用意是将两个自变量整体强行放置到函数的单调递增区间上，便于利用单调性求解；

故得到\(|x|>|2-x|\)，则\(x^2>(2-x)^2\)，解得\(x>1\)。即\(x\in (1，+\infty)\)。

• 思路选择的恰当，就可以避开。

比如下面的恒成立命题，如果选择二次函数的思路，必须要分类讨论；但是如果选择分离参数法就可以成功的避开分类讨论。

已知函数\(f(x)=x^2 +ax-2\ge 0\)在区间\([1，5]\)上恒成立，求参数\(a\)的取值范围。^[1]

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1. [常规方法]法1：二次函数法，由于\(\Delta=a^2+8>0\)，故不需要考虑\(\Delta<0\)的情形，
   只需要考虑对称轴\(x=-\cfrac{a}{2}\)和给定区间\([1，5]\)的相对位置关系
   当\(-\cfrac{a}{2}\leq 1\)时，即\(a\geqslant -2\)时，函数\(f(x)\)在区间\([1,5]\)单调递增，
   所以\(f(x)_{min}=f(1)=1+a-2\geqslant 0\),解得\(a\geqslant 1\)，又因为\(a\geqslant -2\)，所以得到\(a\geqslant 1\)。
   当\(-\cfrac{a}{2}\ge 5\)时，即\(a\leqslant -10\) 时，函数\(f(x)\)在区间 \([1,5]\)单调递减，
   所以\(f(x)_{min}=f(5)=25+5a-2\ge 0\),解得\(a\ge -\cfrac{23}{5}\)，
   又因为\(a\leq -10\)，所以得到\(a\in\varnothing\)。
   当\(1<-\cfrac{a}{2}<5\)，即\(-10<a<-2\)时，\(f(x)min=f(-\cfrac{a}{2})=\cfrac{a^2}{4}-\cfrac{a^2}{2}-2≥0\)，
   得到\(a\in\varnothing\)。（这种情形可以省略）
   综上可得\(a\geqslant 1。\)即\(a\)的取值范围是\([1，+\infty)\)
   [通性通法]法2：【恒成立+分离参数法】两边同时除以参数\(a\)的系数\(x\)(由于\(x\in [1，5]\)，不等号方向不变)，得到
   \(a\geqslant \cfrac{2}{x}－x\)在区间 \([1，5]\)上恒成立, 转化为求新函数“\(\cfrac{2}{x}－x\)”在\([1，5]\)上的最大值。
   这时我们一般是定义新函数，令\(g(x)=\cfrac{2}{x}－x\)，
   则利用函数单调性的结论，可以看到\(g(x)=\cfrac{2}{x}－x\)在区间 \([1，5]\)上单调递减，
   所以\(g(x)_{max}=g(1)=1\)，所以\(a\geqslant 1\)，即\(a\)的取值范围是\([1，+\infty)\) ↩︎