不同视角看以形助数用导数讨论函数的单调性

前情概要

用导数判断函数的单调性，主要针对的是比较复杂的函数的单调性判断，我们一般可以采用两个角度来思考：其一从数的角度求解导函数不等式，从而得到单调区间；其二利用导函数的正负来判断原函数的增减；对于第二个角度而言，采用不同的视角，还会有不同的解题体验。

案例题目

【题源：2017全国卷1文科第21题高考真题，删除第二问】已知函数\(f(x)=e^x(e^x-a)-a^2\cdot x\)，讨论\(f(x)\)的单调性；

备注：如果你习惯并擅长从数的角度的求解，可以参考以下的解法思路。

本题目从数的角度出发，该如何求解呢？

利用导数求导解决，从数的角度通过解不等式完成求解。

$f'(x)$$=$$e^x(e^x-a)$$+$$e^x\cdot e^x-a^2$$=$$2e^{2x}$$-e^xa$$-a^2$$=$$(e^x-a)$$\cdot$$(2e^x+a)$对原式求导后，继续作变形的目的是为了下一步能手动分别做因子函数的图像。

当 \(a=0\) 时，\(f'(x)=e^x\cdot 2e^x>0\) 恒成立，故 \(f(x)\) 只有单调递增区间；

当 \(a>0\) 时，\(2e^x+a>0\)，令 \(f'(x)>0\)，即 \(e^x-a>0\)，解得 \(x>\ln a\)，即单调递增区间为 \((\ln a,+\infty)\)；

令 \(f'(x)<0\)，即 \(e^x-a<0\)，解得 \(x<\ln a\)，即单调递减区间为 \((-\infty,\ln a)\)

当 \(a<0\) 时，\(e^x-a>0\)，令 \(f'(x)>0\)，即 \(2e^x+a>0\)，解得 \(x>\ln(-\cfrac{a}{2})\)，即单调递增区间为 \((\ln(-\cfrac{a}{2}),+\infty)\)；

令 \(f'(x)<0\)，即 \(2e^x+a<0\)，解得 \(x<\ln(-\cfrac{a}{2})\)，即单调递减区间为 \((-\infty,\ln(-\cfrac{a}{2}))\)；

综上所述，

当\(a<0\)时，函数\(f(x)\)的单减区间是\((-\infty，\ln(-\cfrac{a}{2}))\)，单增区间是\((\ln(-\cfrac{a}{2})，+\infty)\)；

当\(a=0\)时，单增区间是\((-\infty，+\infty)\)，无单减区间；

当\(a>0\)时，函数\(f(x)\)的单减区间是\((-\infty，\ln a)\)，单增区间是\((\ln a，+\infty)\)；

如果你非常不习惯解各种不等式，那么可以参考以下的解法思路。这些主要是从形的角度入手分析得到的几种不同的视角：

不同视角分析

视角 1️⃣ 分析：利用导数求导解决，依托两个动态的指数型函数的形来思考；

$f'(x)$$=$$e^x(e^x-a)$$+$$e^x\cdot e^x-a^2$$=$$2e^{2x}$$-e^xa$$-a^2$$=$$(e^x-a)$$\cdot$$(2e^x+a)$对原式求导后，继续作变形的目的是为了下一步能手动分别做因子函数的图像。

[博主注：第一种视角是将导函数看成指数型的因子函数 \(y=e^x-a\) 和另一个指数型的因子函数 \(y=2e^x+a\) 的乘积形式，利用乘积的符号法则来判断导函数的正负。这两个因子函数的图像都是随着参数 \(a\) 的取值变化的动态函数图像，所以，需要针对 \(a\) 分类讨论，最简单的情形自然是 \(a=0\) 的情形，故先讨论 \(a=0\) ，然后再分别讨论另外两种情形即可；再赘述几句，当 \(a>0\) 时，\(y=2e^x+a\) 的图像往上走，函数值恒为正，而 \(y=e^x-a\) 往下走，会出现其与 \(x\) 轴的交点\((\ln a,0)\)，在直线 \(x=\ln a\) 的左边，\(y=e^x-a\) 的值为负，在直线 \(x=\ln a\) 的右边，\(y=e^x-a\) 的值为正，这样对于整个导函数而言，当 \(x<\ln a\) 时，\(y=2e^x+a\) 为正，\(y=e^x-a\) 为负，故此时导函数为负，即当 \(x\in(-\infty,\ln a)\) 时，\(f'(x)<0\)，\(f(x)\) 自然就单调递减，同理，当 \(x>\ln a\) 时，\(y=2e^x+a\) 为正，\(y=e^x-a\) 为正，故此时导函数为正，即当 \(x\in(\ln a,+\infty)\) 时，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\) 自然就单调递增，其他情形的看图方法和分析都同理]

以下针对\(a\)分类讨论如下：

当\(a=0\)时，\(f'(x)>0\)恒成立，\(f(x)\)在区间\((-\infty，+\infty)\)上单调递增。

当\(a >0\)时，令\(f'(x)=0\)，解得\(x=\ln a\)，

则\(x\in(-\infty，\ln a)\)时，\(f'(x)<0\)，即在区间\((-\infty，\ln a)\)上函数\(f(x)\)单调递减；

\(x\in(\ln a，+\infty)\)时，\(f'(x)>0\)，即在区间\((\ln a，+\infty)\)上函数\(f(x)\)单调递增；

当\(a <0\)时，令\(f'(x)=0\)，解得\(x=\ln(-\cfrac{a}{2})\)，

则\(x\in(-\infty，\ln(-\cfrac{a}{2})\)时，\(f'(x)<0\)，即在区间\((-\infty，\ln(-\cfrac{a}{2}))\)上函数\(f(x)\)单调递减；

\(x\in(\ln(-\cfrac{a}{2})，+\infty)\)时，\(f'(x)>0\)，即在区间\((\ln(-\cfrac{a}{2})，+\infty)\)上函数\(f(x)\)单调递增；

综上所述，

当\(a<0\)时，函数\(f(x)\)的单减区间是\((-\infty，\ln(-\cfrac{a}{2}))\)，单增区间是\((\ln(-\cfrac{a}{2})，+\infty)\)；

当\(a=0\)时，单增区间是\((-\infty，+\infty)\)，无单减区间；

当\(a>0\)时，函数\(f(x)\)的单减区间是\((-\infty，\ln a)\)，单增区间是\((\ln a，+\infty)\)；

视角 2️⃣ 分析：利用导数求导解决，依托一个动态的二次函数的形来思考；

\(f'(x)=e^x(e^x-a)+e^x\cdot e^x-a^2=2e^{2x}-e^xa-a^2=(e^x-a)\cdot (2e^x+a)\)

[博主注：为顺利做出导函数的图像，这次我们需要变换视角，令 \(e^x=t\)，则导函数可以看成关于 \(t\) 的二次函数 \(f'(x)\)\(=\)\((t-a)(2t+a)\) 且 \(t>0\)。 在这种视角的指引下，导函数的等价函数图像就是二次函数且只需要 \(y\) 轴右侧的部分，令\((t-a)(2t+a)=0\) 可得导函数的两个零点分别为 \(t_1=a\)，\(t_2=-\cfrac{a}{2}\)，很显然两个零点一正一负，当二者相等时\(a=0\)，故先讨论 \(a=0\) ，然后再分别讨论另外两种情形即可]

以下针对\(a\)分类讨论如下：

当\(a=0\)时，\(f'(x)>0\)恒成立此时 \(f'(x)\)\(=\)\((e^x-0)\)\((2e^x+0)\)\(>0\) 恒成立，\(f(x)\)在区间\((-\infty，+\infty)\)上单调递增。

当\(a>0\)时，令\(e^x>a\)，解得\(x>\ln a\)为了便于作图，我们将上述的导函数看成了二次函数，那么其自变量为 \(t\)，但是最终我们应该是以 \(x\) 为自变量，故需要求解不等式 \(e^x\)\(>\)\(a\)，由上述图像能看出来，当 \(e^x\)\(>\)\(a\) 时，导函数 \(f'(x)\)\(>\)\(0\) 成立，这样只要我们求解 \(e^x\)\(>\)\(a\) 就能得到当 \(x\) 满足什么条件时，能导致 \(f'(x)\)\(>\)\(0\)，即原函数 \(f(x)\) 单调递增，下同 .，

\(f'(x)>0\)，即在区间\((\ln a，+\infty)\)上函数\(f(x)\)单调递增；

令\(0< e^x < a\)，解得\(x < \ln a\)，

\(f'(x)<0\)，即在区间\((-\infty，\ln a)\)上函数\(f(x)\)单调递减；

当\(a<0\)时，令\(e^x>-\cfrac{a}{2}\)，解得\(x>\ln(-\cfrac{a}{2})\)，

\(f'(x)>0\)，即在区间\((\ln(-\cfrac{a}{2})，+\infty)\)上函数\(f(x)\)单调递增；

令\(e^x<-\cfrac{a}{2}\)，解得\(x < \ln(-\cfrac{a}{2})\)，\(f'(x)<0\)，

即在区间\((-\infty，\ln(-\cfrac{a}{2}))\)上函数\(f(x)\)单调递减；

综上所述，

当\(a<0\)时，函数\(f(x)\)的单减区间是\((-\infty，\ln(-\cfrac{a}{2}))\)，单增区间是\((\ln(-\cfrac{a}{2})，+\infty)\)；

当\(a=0\)时，单增区间是\((-\infty，+\infty)\)，无单减区间；

当\(a>0\)时，函数\(f(x)\)的单减区间是\((-\infty，\ln a)\)，单增区间是\((\ln a，+\infty)\)；

视角 3️⃣ 分析：如果能理解以上两种不同视角的求解的本质，那么你还可以将导函数 \(f'(x)\) 灵活的看成是两个一次函数 \(y=x-a(x>0)\) 和 \(y=2x+a(x>0)\) 的乘积的形式，据此，参照下图，你能仿上写出求解过程吗？

延申阅读

• 带有参数的各种常见常用函数的图像的动态变化情况探索方法，每一类函数只选一个代表函数即可 ；

一次函数：比如 \(y=kx+2\) ，\(y=3x+b\)；

二次函数：比如 \(y=2x^2+bx+1\)；\(y=ax^2+3x-1\)；\(y=2x^2+3x+c\)；

幂 函 数 ： 比如 \(y=x^2+a\)；\(y=\sqrt{x}+a\)；\(y=\cfrac{2}{x}+a\)；\(y=x^{\frac{2}{3}}+a\)；

指数函数：比如 \(y=2^x+a\)；\(y=a\cdot 2^x\)；\(y=3\cdot 2^x+b\)；

对数函数：比如 \(y=\ln x+a\)；\(y=\ln(x+a)\)；\(y=2\ln x+a\)；

探究工具和方法