学习数学刷教科书上的题有没有用？| 知乎问答
用例子说明学习数学刷教科书上的题有没有用
前情概要
在知乎上看到这个问题，学习数学刷教科书上的题有没有用？ - 知乎，结合自己的教学实践和学生的学习实际，我也来谈谈自己的浅显看法，也欢迎各位交流。
理论说教
高中学生，尤其是高三学生，基本非常迷信现在市面上流行的各种复习资料，高三一年的复习，基本上就是脱离教材来学习数学，好多一线的老师都不大赞成这个做法，认为学生舍本逐末，我也赞成这个看法。这种不好的学习趋势，导致高一和高二的学生在初次学习新内容时，往往看不起教科书上配备的例题和习题，总想着那些大而全的资料是宝典，他们的想法一般都是想着怎么能一步到位，将数学知识一次挖掘清楚，结果大多学生的学习效果不如意，平时的自我感觉良好，一到考试就傻眼了，我们可以从以下的角度来试着分析：
数学知识的掌握，尤其体现我们的认知是螺旋上升的特质，往往不会一步到位，缺少一环，数学概念的理解、掌握和应用都会成问题。
编写了近乎9年多的博客，也基本能体会教科书在编写时需要考虑的问题了。一个数学概念的引入，到建立印象，到学生理解，再到学生掌握，最后到学生会被动应用和主动应用，编写者需要考虑的问题很多很多，而教科书受各种因素的限制，不可能编写的很厚，好多地方只能一笔带过，比如，教科书上会说，显而易见，同理 这样的话语，但是对于不同的个体而言，有的学生要理解同理，要理解显而易见，可能需要3-4页的配备内容，你要是经常阅读我的博客，你会有比较深刻的印象，因为我往往在这些地方会做出自己的数学解释，而且还带有特殊的显示方式，也不影响阅读体验，所以你会觉得我做的好，主要是我的解释不受篇幅的限制，对于理解这个知识点能用到的所有的要素我基本都能配备齐全，比如，文字，图片，音频，视频，课件，动态课件，立体课件等等，这些内容于教材是做不到的。
那么，编写者在选编内容时必然会思之又思，慎之又慎，你得用有限的篇幅来展现尽可能多的想法和内容，所以一本教材会配备有一本教科书的使用说明，我们叫教师教学用书，这些都是国家层面的，基本不会糊弄。一般来说，例题都是精挑细选的，课后练习的配备也是一样的，以课后习题为例，有当堂练习题，这个是初次接触了数学概念后的简单层次上的小试牛刀，比较简单，思维层次比较低，然后一个单元后边会配备分层次的习题，常见 \(A\)、\(B\)、\(C\) 三个层次，高一高二的学生作业往往会从这些组里面选，难度是递进的，有些也是留给学有余力的学生学习的。这是所学知识在消化了大概一周之内的用题，等到一个单元，也就是一个月左右，还有个章末习题，也是分组的，这个难度又有所增加，这是第三个层次。到这个时候，所学的数学知识点大概能理解和掌握个70%-80%，当然还需要高三的提炼。如果你把这些东西，真正的挖掘到位了，你就不会再问自己，刷教科书上的题目到底有没有用。
再者，这个编写质量和市面上的东西相比，质量如何呢，你可以这样想，教材的使用范围，使用人群即受众是最广的，那些网红的资料是比不了的，而且教材的编写会后质量保证，你编写错了，那还了得，弄错了，你不得被人讨伐呀，网红资料错了也就错了，谁会追究责任，这样一想，许多问题就不成问题了，你也就容易接受教科书了，现在网上好多人说教材是反自学的，主要与教材篇幅、价格、市场等有很大关系，怪不了编写者，编写者的站位往往比较高，不是一般人能比得了的，基本都是行业和专业领域的翘楚。
在这个纷繁复杂的世界里，学会分析，学会思考，学会选择，非常的重要。
以上是我们使用教科书时，能想到的，除此之外，当然还需要老师的适当调整，适时的增删，自习辅导，晚自习辅导等的配合，及时答疑解惑，才可能再提升。说到这里，想到电视剧《大染坊》里的陈六子，一个叫花子，社会的最底层，没钱读书，从说书先生口中听到一句话，一等人，不用教；二等人，用言教；三等人，用棍教；首先申明，这个话不对，但道理是放之四海而皆准的。懂得都懂，你自己琢磨吧。
那么新问题来了，我们该如何用教科书？怎么样用才是高效的？
典型案例
- 我们以圆锥曲线中的椭圆的第二定义和第三定义为例来作典例印证，说明如何使用教材和整理笔记。
圆锥曲线的由来动画演示：
在新版人教 \(2019 A\) 版教材中，我们分别学习了三种圆锥曲线的定义，她们都属于各自的第一定义，也是学生最好理解和接受的定义。椭圆的定义，双曲线的定义，抛物线的定义
第二定义的演变
大概在2006年左右，圆锥曲线的第二定义[或称为统一定义]是明确要学习的，到2012年左右学生反应数学难，因此又不要求学习了，到新版人教 \(2019 A\) 版教材中虽然没有明确提出要学习第二定义，但是教材中满是第二定义的影子，不信，我们看看教材的编排：
先说结论：圆锥曲线的统一定义：平面上一动点 \(M(x,y)\) 到一个定点 \(F(c,0)\)(或 \(F'(-c,0)\) ) 的距离和它到定直线 \(l：x=\cfrac{a^2}{c}\)(或 \(l'：x=-\cfrac{a^2}{c}\)) 的距离之比为常数 \(\cfrac{c}{a}\) ，若 \(0<\cfrac{c}{a}<1\) 时，轨迹是椭圆；若 \(\cfrac{c}{a}=1\) 时，轨迹是抛物线；若 \(\cfrac{c}{a}>1\) 时，轨迹是双曲线。
椭圆第二定义探究
- 数字案例
说明：这是椭圆第二定义的具体数字案例1，没有做抽象概括，让学生初次体会，满足这个条件的曲线是椭圆。本案例中 \(0<\cfrac{c}{a}=\cfrac{4}{5}<1\)； 教材上例题的详细求解过程
- 对应练习
说明：这是上述例题的强化，椭圆第二定义的具体数字案例2，椭圆标准方程的再认识，本练习中 \(0<\cfrac{c}{a}=\cfrac{1}{2}<1\)； 可以仿上自行完成求解，结论：
- 抽象概括
✍️已知动点 \(M(x,y)\) 与定点 \(F(c,0)\) 的距离和 \(M\) 到定直线 \(l：\)\(x\)\(=\)\(\cfrac{a^2}{c}\) 的距离之比为常数 \(\cfrac{c}{a}\)，且 \(0\)\(<\)\(\cfrac{c}{a}\)\(<\)\(1\)；试证明动点 \(M\) 的轨迹是椭圆 .
证明：由于动点 \(M(x,y)\) 与定点 \(F(c,0)\) 的距离为 \(|MF|\) \(=\) \(\sqrt{(x-c)^2+(y-0)^2}\)，动点 \(M(x,y)\) 到定直线 \(l：\)\(x\) \(=\)\(\cfrac{a^2}{c}\) 的距离为 \(d\) \(=\) \(|x-\cfrac{a^2}{c}|\)，
由题目可知，\(\cfrac{|MF|}{d}\) \(=\) \(\cfrac{c}{a}\)，即 \(\cfrac{\sqrt{(x-c)^2+(y-0)^2}}{|x-\cfrac{a^2}{c}|}\) \(=\) \(\cfrac{c}{a}\)，
两边同时平方，得到 \(\cfrac{(x-c)^2+y^2}{(x-\cfrac{a^2}{c})^2}\) \(=\) \(\cfrac{c^2}{a^2}\)，
变形整理为，\((a^2-c^2)\)\(\cdot\)\(x^2\)\(+\)\(a^2\)\(\cdot\)\(y^2\)\(=\)\(a^2\)\(\cdot\)\((a^2-c^2)\)，
由于 \(0<\cfrac{c}{a}<1\)，则 \(a^2-c^2>0\)，为美观标准，我们令 \(a^2-c^2=b^2\) \((b>0)\)，代入上式整理为，
\(b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2\)，两边同时除以 \(a^2b^2\)得到，椭圆的标准方程为
故动点 \(M\) 的轨迹是椭圆，上式表明它是焦点在 \(x\) 轴上的椭圆，其中定点 \(F(c,0)\) 即右焦点，定直线 \(l：\)\(x\)\(=\)\(\cfrac{a^2}{c}\) 为与定点 \(F\) 相对应的右准线 . 由此若要继续研究，我们自然能得到左焦点和左准线 .
- 对应教材上的探究安排
椭圆的第三定义引入
在人教 \(2019A\) 版选择性必修一 \(P_{121}\) \(3.2.1\) 的探究内容中，其实已经涉及到双曲线的第三定义【类比此例，我们可以得到椭圆的第三定义】，在下面的例子中一并解答；
典例剖析
解：设点 \(M(x,y)\)，则由 \(k_{MA}=\cfrac{y-0}{x+5}\)， \(k_{MB}=\cfrac{y-0}{x-5}\)， \(k_{MA}\cdot k_{MB}=-\cfrac{16}{25}\)，
可得到，\(\cfrac{y-0}{x+5}\times\cfrac{y-0}{x-5}=-\cfrac{16}{25}\)，
整理得到 \(\cfrac{x^2}{25}+\cfrac{y^2}{16}=1\)，但是 \(x\neq\pm 5\)，如下图所示
即所求的点 \(M\) 的轨迹方程为 \(\cfrac{x^2}{25}+\cfrac{y^2}{16}=1\)，\(x\neq\pm 5\)，所以点 \(M\) 的轨迹是以原点为中心，焦点在 \(x\) 轴上的椭圆(除去 \(A(-5,0)\) 和 \(B(5,0)\)两个点) .
关于课后习题的使用也来个例子
法1：基向量法，我们选向量 \(\overrightarrow{AB}\) 和向量 \(\overrightarrow{AD}\)作为基底向量，用它们来表示向量 \(\overrightarrow{DE}\) 和向量 \(\overrightarrow{AF}\)，那么只要求解这两个向量的夹角，就能求得 \(\angle EMF\) .
由于 \(\overrightarrow{DE}\) \(=\) \(\cfrac{1}{2} \overrightarrow{AB}\) \(-\) \(\overrightarrow{AD}\) ， 且 \(\overrightarrow{AF}\)\(=\)\(\overrightarrow{AB}\)\(+\)\(\cfrac{1}{3} \overrightarrow{AD}\)，
所以，\(\overrightarrow{DE} \cdot \overrightarrow{AF}\)\(=\)\(\left(\cfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}\right)\)\(\cdot\)\(\left(\overrightarrow{AB}+\cfrac{1}{3} \overrightarrow{AD}\right)\) \(=\cfrac{1}{2} a^2-\cfrac{1}{3} a^2\) \(=\) \(\cfrac{1}{6} a^2\).
所以，\(\cos \angle EMF\)\(=\)\(\cfrac{\overrightarrow{DE} \cdot \overrightarrow{AF}}{|\overrightarrow{DE}||\overrightarrow{AF}|}\)\(=\)\(\cfrac{\cfrac{1}{6} a^2}{\cfrac{\sqrt{5}}{2} a \cdot \cfrac{\sqrt{10}}{3} a}\)\(=\)\(\cfrac{\sqrt{2}}{10}\)
法2：坐标法，建立如图所示的直角坐标系．
则 \(A(0,0)\)、 \(D(0, a)\)、 \(E(\cfrac{1}{2}a, 0)\)、\(F(a, \cfrac{1}{3} a)\)
则 \(\overrightarrow{DE}=\left(\cfrac{1}{2} a,-a\right)\)，\(\overrightarrow{AF}=\left(a, \cfrac{1}{3} a\right)\)，
\(\overrightarrow{DE} \cdot \overrightarrow{AF}=\cfrac{1}{2} a^2-\cfrac{1}{3} a^2=\cfrac{1}{6} a^2\)，
\(|\overrightarrow{D E}|=\sqrt{\left(\cfrac{1}{2} a\right)^2+(-a)^2}=\cfrac{\sqrt{5}}{2} a\)，\(|\overrightarrow{A F}|=\sqrt{a^2+\left(\cfrac{1}{3} a\right)^2}=\cfrac{\sqrt{10}}{3} a\)，
\(\cos \angle E M F=\cfrac{\overrightarrow{DE} \cdot \overrightarrow{AF}}{|\overrightarrow{DE}||\overrightarrow{AF}|}=\cfrac{\cfrac{1}{6} a^2}{\cfrac{\sqrt{5}}{2} a \cdot \cfrac{\sqrt{10}}{3} a}=\cfrac{\sqrt{2}}{10}\)
法3：三角函数法，为简单起见，令正方形棱长为 \(1\)，故 \(AB=1\)， \(BF=\cfrac{1}{3}\)， \(AE=\cfrac{1}{2}\)，
则 \(\tan\alpha=\cfrac{1}{3}\) ，\(\tan\beta=2\)，故 \(\tan\theta=\tan(\alpha+\beta)=\cfrac{\cfrac{1}{3}+2}{1-\cfrac{1}{3}\times2}=7\)，
由 \(\tan\theta=7\)，令 \(\sin\theta=7k\)， 则 \(\cos\theta=k\)，\(k>0\)，
由 \((7k)^2+k^2=1\)，则 \(k^2=\cfrac{1}{50}\)，
故 \(\cos\theta=k=\cfrac{1}{\sqrt{50}}=\cfrac{\sqrt{2}}{10}\)；
自我结论
你说，按照这样的态度和方法，你认为刷教材上的习题还有作用吗 ！
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