第六章学习小结
图
重点：邻接矩阵、邻接表的存储结构即创建代码；BFS、DFS算法的方法代码；Prim、Kruskal算法的方法
一、定义
（1）图G由V和E组成，记为G=（V,E)，其中V是顶点的有穷非空集合，E是V中顶点偶对的又穷集合，这些顶点偶对称为边。
（2）V(G)通常表示图G的顶点集合，E(G)通常表示图G的边集合。
（3）E(G)可以为空集，则图G只有顶点而没有边。
二、分类
（1）有向图：边集E(G)为有向边的集合，该图为有向图。<x,y>，x是有向边的始点，y是有向边的终点。
（2）无向图：边集E(G)为无向边的合集，该图为无向图。(x,y)是顶点x与顶点y相关联的一条边。
三、基本术语
（1）子图：假设有两个图G=(V,E)和G'=(V',E'),如果V'属于V,且E'属于E，则称G'为G的子图
（2）无向完全图和有向完全图：对于无向图，若具有n(n-1)/2条边，则成为无向完全图。对于有向图，若具有n(n-1)条弧，则称之为有向完全图
（3）稀疏图和稠密图：e<nlog2n的图称为稀疏图，反之称为稠密图
（4）权：每条边可以标上具有目中含义的数值，该数值称为该边上的权
（5）网：带权的图通常称为网
（6）邻接点：对于无向图G，如果图的边(v,v')属于E，则称顶点v和v'互为邻接点，即v和v'相邻接。边(v,v')依附于顶点v和v'或者说边(v,v')于顶点v和v'相关联
（7）度、入度和出度：顶点v的度是指和v相关联的边的数目，记为TD(v)。对于有向图，顶点v的度分为入度和出度。入度是以顶点v为头的弧的数目，记为ID(v)；出度是以顶点v为尾的弧的数目
（8）路径：在无向图G中，从顶点v到顶点v'的路径是一个顶点序列，其中(vi,j-1,vi,j)属于E，1<=j<=m
（9）路径长度：一条路径上经过的边或弧的数目
（10）简单路径：顶点不重复出现的路径
（11）简单回路或简单环：除了第一个顶点和最后一个顶点之外，其余顶点不重复出现的回路
（12）连通：在无向图G中，如果从顶点v到顶点v'有路径，则称v和v'是连通的
（13）连通图：图中任意两个顶点vi、vj属于V，vi和vj都是连通的，则称G是连通图
（14）连通分量：无向图中的极大连通子图
（15）强连通图：在有向图G中，如果对于每一对vi,vj属于V，vi不等于vj，从vi到vj和从vj到vi都存在路径，则称图G是强连通图
（16）强连通分量：有向图中的极大连通子图称作有向图的强连通分量
（17）连通图的生成树：一个极小连通子图，它含有图中全部顶点，但只有足以构成一棵树的n-1条边
（18）有向树：有一个顶点的入度为0，起浴顶点的入度均为1的有向图
（19）生成森林：有若干棵有向树组成，含有图中全部顶点，但只有足以构成若干棵不相交的有向树的弧
四、存储结构
（1）邻接矩阵
1.存储结构
#define MaxInt 32767 //表示极大值，即无穷 #define MVNum 100 //最大顶点数 typedef char VerTexType; //假设顶点的数据类型为字符型 typedef int ArcType; //假设边的权值类型为整型 typedef struct { VerTexType vexs[MVNum]; //顶点表 ArcType arcs[MVNum][MVNum]; //邻接矩阵 int vexnum,arcnum; //图的当前点数和边数 }AMGraph;
2.创建无向图
void CreateUDN(AMGraph &G) //因为要改变图的内容，所以要加& {//采用邻接矩阵表示法，创建无向网G int i,j,k,v1,v2,w; cin >> G.vexnum >> G.arcnum; //总顶点数，总边数 for(i = 0;i < G.vexnum;i++) cin >> G.vexs[i]; //依次输入点的信息 for(i = 0;i < G.vexnum;i++) {//初始化 for(j = 0;j < G.vexnum;j++) G.arcs[i][j] = MaxInt; } for(k = 0;k < G.arcnum;k++) {//构造 cin >> v1 >> v2 >> w; //输入始点、终点和权值 i = LocateVex(G,v1); //返回始点在G中的位置 j = LocateVex(G,v2); //返回终点在G中的位置 G.arcs[i][j] = w; //边<v1,v2>的权值置为w G.arcs[j][i] = w; //因为是无向图所以对称边的权值也置为w } }
3.优点：便于判断两个顶点之间是否有边；便于计算咯咯咯顶点的度
4.缺点：不便于增加和删除顶点；不便于统计边的数目（时间复杂度为O(n^2)）；空间复杂度高（空间复杂度为O(n)）；如果为稀疏图浪费的空间较多（无向图沿对角线对称）
（2)邻接表
1.存储结构
#define MVNum 100 //最大顶点数 typedef struct ArcNode {//边结点 int adjvex; //改变所指向的始点的位置 struct ArcNode *nextarc; //指向下一条边的指针 OtherInfo info; //和边相关的信息(eg.权值) }ArcNode; typedef struct VNode {//顶点信息 VerTexType data; ArcNode *firstarc; //指向第一条依附该顶点的边的指针 }VNode,AdjList[MVNum]; typedef struct {//邻接表 AdjList vertices; int vexnum,arcnum; //图的当前的顶点数和边数 }ALGraph;
2.创建无向图
void CreateUDG(ALGraph &G) { int i,j,k,v1,v2; ArcNode *p1,*p2; cin >> G.vexnum >> G.arcnum; //输入总顶点数，总边数 for(i = 0;i < G.vexnum;i++) {//构造结点表 cin >> G.vertices[i].data; //输入顶点值 G.vertices[i].firstarc = NULL; //初始化 } for(k = 0;k < G.arcnum;k++) {//构造临界边表 cin >> v1 >> v2; //输入两个顶点 i = LocateVex(G,v1); //确定v1在G中位置 j = LocateVex(G,v2); //确定v2在G中位置 p1 = new ArcNode; //生成新结点 p1->adjvex = j; //邻接点序号为j p1->nextarc = G.vertices[i].firstarc; G.vertices[i].firstarc = p1; //将新结点插入顶点v1的边表头部 p2 = new ArcNode; //生成另一个对称的新的边界的点 p2->adjvex = i; //邻接点序号为i p2->nextarc = G.vertices[j].firstarc; G.vertices[j].data = p2; //将新结点插入顶点vj的边表头部 } }
3.优点：便于增加和删除顶点；便于统计边的数目（时间复杂度O(n+e)）；空间效率高（空间复杂度O(n+e)）
4.缺点：不便于判断顶点之间是否有边；不便于计算有向图各个顶点的度
（3）十字链表
（4）邻接多重表
五、遍历
（1）深度优先搜索（DFS)
1.方法
a.从图中某个顶点v出发，访问v
b.找出刚访问过的顶点的第一个未被访问的邻接点，访问该顶点。以该定点为新顶点，重复此步骤，直至刚访问的顶点没有未被访问的邻接点为止
c.返回前一个访问过的且仍有为被访问的邻接点的顶点，找出该顶点的下一个未被访问的邻接点，访问该顶点
d.重复步骤b、c，直至涂重所有顶点都有被访问过，搜索结束
2.遍历连通图
bool visited[MVNum]; void DFS(Graph G,int v) {//从第v个顶点出发递归地深度优先遍历图G cout << v; //访问第v个顶点 visited[v] = true; //置访问标志数组相应分量值为true for(w = FirstAdjVex(G,v);w >= 0;w = NextAdjVex(G,v,w)) //一次检查v地所有邻接点w，FirstAdjVex(G,v)表是v的第一个邻接点 //NextAdjVex(G,v,w)表示v相对w的下一个邻接点，w>=0表示存在邻接点 if(!visited[w]) DFS(G,w); //对v的尚未访问的邻接顶点w递归调用DFS }
3.遍历非连通图
void DFSTraverse(Graph G) {//对非连通图G做深度优先遍历 for(v = 0;v < G.vexnum;v++) visited[v] = false; //访问标志数组初始化 for(v = 0;v < G.vexnum;v++) //循环调用 if(!visited[v]) DFS(G,v); //对为访问的顶点调用DFS }
4.邻接矩阵表示图
void DFS_AM(AMGraph G,int v) {//G为邻接矩阵类型，从第v个顶点出发深度优先搜索遍历 cout << v; //访问第v个顶点 visited[v] = true; //置访问标志数组相应分量为true for(w = 0;w < G.vexnum;v++) //依次检查邻接矩阵v所在的行 if((G.arcs[v][w] != 0)&&(!visited[w]) //G.arcs[v][w] != 0表示w是v的邻接点，如果w未访问，则递归调用DFS DFS(G,w); } }
5.邻接表表示图
void DFS_AL(Graph G,int v) {//G为邻接表类型，从第v个顶点出发深度优先搜索 cout << v; //访问第v个顶点 visited[v] = true; //置访问标志数组相应分量值为true ArcNode *p; p = G.vertices[v].firstarc; //p指向v的便链表的第一个边结点 while(p) { w = p->adjvex; //表示w是v的邻接点 if(!visited[w]) DFS(G,w); //如果w未被访问，则递归调用DFS p = p->nextarc; } }
（2）广度优先搜索（BFS)
1.方法
a.从图中某个顶点v出发，访问v
b.依次访问v的各个未曾访问过的邻接点
c.分别从这些邻接点出发依次访问它们的邻接点，并使“先被访问的顶点的邻接点”先于“后被访问的顶点的邻接点”被访问。（使用队列）
d.重复步骤c，直至图中所有已被访问的顶点的邻接点都被访问到
2.遍历连通图
#include<queue> void BFS(Graph G,int v) {//按广度优先非递归遍历连通图 queue<int>Q; //队列 cout << v; //访问第v个顶点 visited[v] = true; //置访问标志数组相应分量值未true Q.push(v); //v入队 while(!Q.empty()) //队列非空 { u = Q.front();//获得队头元素给k Q.pop();//队头元素出队 for(w = FirstAdjVex(G,u);w >= 0;w = NextAdjVex(G,u,w)) //依次检查u的所有邻接点w //FirstAdjVex(G,u)表示u的仪狄格邻接点 //NextAdjVex(G,u,w)表示u相对于w的下一个邻接点，w>=0表示存在邻接点 if(!visited[w]) //w为u的尚未访问的邻接顶点 { cout << w; //访问w visited[w] = true; //置访问标志数组相应分量值为true Q.push(v); //v入队 } } }
六、最短路径
（1）迪杰斯特拉算法（Dijkstra）
1.方法
对于网N = (V,E)，将N中的顶点分成两组
第一组S:已求出的最短路径的终点集合（初始时值包含源点v0）
第二组V-S:尚未求出的最短路径的顶点集合（初始时为V-{v0}）
按各顶点与v0减最短路径长度递增的次序，逐个将集合V-S中的顶点加入到集合S中去。在这个过程中，总保持从v0到集合S中各顶点的路径长度始终不大与到集合V-S中各个顶点的路径长度
2.代码
void ShortestPath_DIJ(AMGraph G, int v0) {//使用迪杰斯特拉算法求有向网G中的V0顶点到其余顶点的最短路径 int n = G.vexnum; //n为顶点数 for (int v = 0; v < n; v++) //n个顶点依次初始化 { S[v] = false; //S初始化为空集 D[v] = G.arcs[v0][v]; //将v0到各个终点的最短路径长度初始化为边上的权值 if (D[v] < MAX) Path[v] = v0; //如果v0和v之间有边，则将v的前驱初始化为v0 else Path[v] = -1; //如果v0和v之间无边，则将v的前驱初始化为-1 } S[v0] = true; //将v0加入s D[v0] = 0; //源点到源点的权值为0 //---------初始化结束，开始主循环，每次求得v0到某个顶点的最短路径，将v加到S数组 for (int i = 1; i < n; i++) //依次对其余n-1个顶点进行计算 { int min = MAX; int v = v0; for (int w = 0; w < n; w++) { if (!S[w] && D[w] < min) {//选择一条当前最短路径，终点为v v = w; min = D[w]; } S[v] = true; //将v加到s集合中 for (int w = 0; w < n; w++) {//更新从v0出发到集合V-S上所有顶点的最短路径长度 if (!S[w] && (D[v] + G.arcs[v][w] < D[w])) { D[w] = D[v] + G.arcs[v][w]; //更新D[w] Path[w] = v; //更改w的前驱为v } } } } }
七、最小生成树
（1)普里姆算法（Prim）
1.方法
a.U = {u0}(u0∈V),TE = {}
b.在所有u∈U,v∈V-U的边(u,v)∈E中找一条权值最小的边(u0,v0)并入集合TE，同时v0并入U
c.重复步骤b，直至U = V为止
2.辅助数组，记录从顶点集U到V-U的权值最小的边
struct { VerTexType adjvex; //最小边在U中的那个顶点 ArcType lowcost; //最小边上的权值 }closedge[MVNum];
3.代码
void MiniSpanTree_Prim(AMGraph G,VerTexType u) {//从顶点u出发构造G的最小生成树T,输出T的各条边 int k = LocateVex(G,u); //k为顶点u的下标 for(int i = 0;i < G.vexnum;i++) //对V-U的每一个顶点vj，初始化closedge[j] if(i != k) closedge[i] = {u,G.arcs[k][i]}; // closedge[k].lowcost = 0; for (int i = 1; i < G.vexnum; i++) {//选择其余n-1个顶点，生成n-1条边 k = Min(closedge); //求出T的下一个结点：第k个顶点，closedge[k]中存有当前最小边 u0 = closedge[k].adjvex; //u0为最小边的一个顶点，u0∈U v0 = G.vexs[k]; //v0为最小边的另一个顶点，v0∈V-U cout << u0 << v0; //输出当前的最小边（u0，v0） for (int j = 0 ;j < G.vexnum; j++) { if (G.arcs[k][j] < closedge[j].lowcost) //新顶点并入U后重新选择最小边 closedge[j] = {G.vexs[k],G.arcs[k][j]}; } } }
（2)克鲁斯卡尔算法（Kruskal)
1.方法
假设连通网N = (V,E)，将N中的边按权值从小到大的顺序排列
a.初始状态为只有n个顶点而五辩的非连通图T=(V,{})，图中每个顶点字成一个连通分量
b.在E中选择权值最小的边，若该边衣服的顶点落在T中不同的连通分量上（即不形成回路），则将赐匾加入到T中，否则社区赐匾而选择吓一跳权值最小的边
c.重复步骤b，直至T中所有顶点都在统一连通分量上为止
2.辅助数组
a.结构体数组Edge：存储边的信息，包括边的两个顶点信息和权值
struct { VerTexType Head; //边的始点 VerTexType Tail; //边的终点 ArcType lowcost; //边上的权值 }Edge[arcnum];
b.标识各个顶点所属的连通分量
int Vexset[MVNum]; //初始时Vexset[i]= i，表示各顶点自成一个连通分量
3.代码
（太长了 来不及打）
补充：.和->的区别
typedef struct
{
……
}*p;
指向p中内容应用->
声明结构体指针，手动开辟空间
typedef struct
{
……
}Node；
指向Node中内容应用.
声明结构体
