一些知识点的初步理解_5(梯度下降,ing...)

      梯度下降法又叫最速下降法,英文名为steepest descend method.估计搞研究的人应该经常听见这个算法吧,用来求解表达式最大或者最小值的,属于无约束优化问题。

      首先我们应该清楚,一个多元函数的梯度方向是该函数值增大最陡的方向。具体化到1元函数中时,梯度方向首先是沿着曲线的切线的,然后取切线向上增长的方向为梯度方向,2元或者多元函数中,梯度向量为函数值f对每个变量的导数,该向量的方向就是梯度的方向,当然向量的大小也就是梯度的大小。

      现在假设我们要求函数的最值,采用梯度下降法,如图所示:

      梯度下降法的基本思想还是挺简单的,现假设我们要求函数f的最小值,首先得选取一个初始点后,然后下一个点的产生时是沿着梯度直线方向,这里是沿着梯度的反方向(因为求的是最小值,如果是求最大值的话则沿梯度的方向即可)。梯度下降法的迭代公式为:

     

      其中表示的是梯度的负方向, 表示的是在梯度方向上的搜索步长。梯度方向我们可以通过对函数求导得到,步长的确定比较麻烦,太大了的话可能会发散,太小收敛速度又太慢。一般确定步长的方法是由线性搜索算法来确定,即把下一个点的坐标ak+1看做是的函数,然后求满足f(ak+1)的最小值的 即可。

      因为一般情况下,梯度向量为0的话说明是到了一个极值点,此时梯度的幅值也为0.而采用梯度下降算法进行最优化求解时,算法迭代的终止条件是梯度向量的幅值接近0即可,可以设置个非常小的常数阈值。

      下面是网上下的一个求2元函数最小值的matlab函数实现代码,在上面添加了少许注释。代码中关于步长的计算公式还是没有弄很清楚,用到了hessian矩阵,有点像牛顿法,先不管了,以后有时候慢慢研究。

 1 function y=fs2steep(f,e,a,b) %返回的是点坐标的2个分量
 2 % fs2steep函数 最速下降法
 3 % x=fs2steep(f,e,a,b)为输入函数 f为函数 e为允许误差 (a,b)为初始点;
 4 % fsx TJPU 2008.6.15
 5 x1=a;x2=b;
 6 Q=fs2hesse(f,x1,x2);
 7 x0=[x1 x2]';
 8 fx1=diff(f,'x1'); %对x1求偏导数
 9 fx2=diff(f,'x2'); %对x2求偏导数
10 g=[fx1 fx2]'; %梯度
11 g1=subs(g); %把符号变量转为数值
12 d=-g1;%d为搜索方向
13 while (abs(norm(g1))>=e)  %norm(g1)为g1的2范数,即sqrt(x1^2+x2^2),因为梯度其各分量=0,所以其梯度幅值=0
14     t=(-d)'*d/((-d)'*Q*d);%求搜索步长,方法是?
15     x0=x0-t*g1; %搜索到的点
16     v=x0;
17     a=[1 0]*x0;
18     b=[0 1]*x0;
19     x1=a;
20     x2=b;  
21     Q=fs2hesse(f,x1,x2);
22     x0=[x1 x2]';
23     fx1=diff(f,'x1'); %对x1求偏导数
24     fx2=diff(f,'x2'); %对x2求偏导数
25     g=[fx1 fx2]'; %梯度    
26     g1=subs(g);
27     d=-g1;
28 end;
29 y=v;
30 
31 function x=fs2hesse(f,a,b)
32 % fs2hesse函数 求函数的hesse矩阵;
33 % 本程序仅是简单的求二次函数的hesse矩阵!;
34 % x=fs2hesse(f)为输入函数 f为二次函数 x1,x2为自变量;
35 % fsx TJPU 2008.6.15
36 x1=a;x2=b;
37 fx=diff(f,'x1');     %求f对x1偏导数
38 fy=diff(f,'x2');     %求f对x2偏导数
39 fxx=diff(fx,'x1');   %求二阶偏导数 对x1再对x1
40 fxy=diff(fx,'x2');   %求二阶偏导数 对x1再对x2
41 fyx=diff(fy,'x1');   %求二阶偏导数 对x2再对x1
42 fyy=diff(fy,'x2');   %求二阶偏导数 对x2再对x2
43 fxx=subs(fxx);       %将符号变量转化为数值
44 fxy=subs(fxy);
45 fyx=subs(fyx);
46 fyy=subs(fyy);
47 x=[fxx,fxy;fyx,fyy]; %求hesse矩阵

      在matlab命令行窗口验证函数,结果如下:

     

      最优化应用很广,有很多东西要学,且自己对matlab编程还不熟悉,以后慢慢积累吧!

 

 

作者:tornadomeet 出处:http://www.cnblogs.com/tornadomeet 欢迎转载或分享,但请务必声明文章出处。 (新浪微博:tornadomeet,欢迎交流!)
posted on 2012-04-10 19:50  tornadomeet  阅读(9327)  评论(0编辑  收藏  举报

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